Geometria analitica nello spazio tridimensionale

Geometria e Funzioni di Due Variabili nello Spazio Tridimensionale

La geometria analitica nello spazio tridimensionale è essenziale per comprendere e descrivere fenomeni fisici e matematici. Per individuare un punto nello spazio si utilizzano tre coordinate cartesiane: l'ascissa (x), l'ordinata (y) e la quota (z). Un piano può essere descritto da un'equazione lineare del tipo ax + by + cz + d = 0, dove a, b, c e d sono coefficienti reali. Le funzioni di due variabili reali, invece, associano ad ogni coppia (x, y) in un dominio S ⊆ R² un unico valore reale z, secondo la relazione z = f(x, y). Il grafico di una tale funzione è una superficie nello spazio tridimensionale. Le curve di livello, ottenute proiettando sul piano xy le intersezioni della superficie con piani z = costante, sono utili per analizzare il comportamento della funzione senza la dimensione della quota.

Derivate Parziali e Condizioni di Differenziabilità

Le derivate parziali di una funzione z = f(x, y) misurano la variazione di z rispetto a una sola delle variabili, tenendo l'altra costante. La derivata parziale rispetto a x si indica con ∂f/∂x e analogamente per y. Se le derivate parziali esistono e sono continue, la funzione si dice di classe C¹. Le derivate parziali seconde, indicate con ∂²f/∂x², ∂²f/∂y² e ∂²f/∂x∂y (o ∂²f/∂y∂x), sono utili per studiare la concavità della funzione. Il teorema di Schwarz assicura che, se le derivate miste sono continue, esse sono uguali. Una funzione è differenziabile in un punto se l'incremento di f può essere approssimato linearmente in quel punto, e ciò implica anche la continuità della funzione in tale punto.

Estremi Locali e Punti di Sella

L'identificazione di massimi e minimi locali è cruciale nell'analisi di funzioni di due variabili. Un punto è un estremo locale se, in un suo intorno, la funzione non assume valori maggiori (per un massimo) o minori (per un minimo). Il teorema di Weierstrass garantisce l'esistenza di estremi assoluti per funzioni continue su insiemi chiusi e limitati. Per individuare gli estremi locali si possono utilizzare le derivate parziali: un punto stazionario è un candidato per essere un estremo locale se le derivate parziali prime si annullano in esso. L'Hessiano, la matrice delle derivate seconde, aiuta a determinare se il punto stazionario è un massimo, un minimo o un punto di sella.

Ottimizzazione con Vincoli

L'ottimizzazione di funzioni soggette a vincoli si affronta considerando sia la funzione obiettivo sia le equazioni dei vincoli. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange è particolarmente efficace: si introduce una funzione lagrangiana L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y), dove g(x, y) = 0 rappresenta il vincolo. I punti stazionari di L forniscono i candidati per gli estremi vincolati. L'analisi dell'hessiano orlato, che include le derivate parziali rispetto alle variabili e ai moltiplicatori di Lagrange, permette di classificare questi punti.

Disequazioni in Due Variabili e Programmazione Lineare

Le disequazioni lineari in due variabili formano un sistema che può essere rappresentato graficamente nel piano cartesiano. La soluzione di una disequazione è un semipiano delimitato da una retta, che può essere individuato utilizzando il metodo del punto di prova. La programmazione lineare si occupa di massimizzare o minimizzare una funzione lineare soggetta a vincoli lineari. La soluzione ottimale si trova spesso ai vertici della regione ammissibile, definita dall'intersezione dei semipiani dei vincoli. Il metodo del simplesso è un algoritmo iterativo che naviga tra i vertici della regione ammissibile per trovare l'ottimo della funzione obiettivo.