Geometria piana e angoli

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Gli angoli sono elementi fondamentali della geometria, classificati in base all'ampiezza e alla posizione reciproca. Acuti, retti, ottusi, piatti e giro descrivono le loro aperture, mentre le relazioni tra angoli, come complementari, supplementari ed esplementari, sono cruciali per risolvere problemi geometrici. La comprensione degli angoli è essenziale anche nello studio delle rette parallele e perpendicolari e delle loro intersezioni.

Riassunto

Schema

Definizione e classificazione degli angoli

Un angolo è la figura geometrica formata da due semirette che hanno l'origine in comune, denominata vertice. Le semirette sono i lati dell'angolo e la loro apertura determina l'ampiezza dell'angolo stesso. Gli angoli si classificano in angoli acuti (minori di 90°), retti (esattamente 90°), ottusi (tra 90° e 180°), piatti (esattamente 180°) e giro (360°). Inoltre, si distinguono in angoli convessi, che non contengono i prolungamenti dei propri lati, e angoli concavi, che li contengono. La notazione degli angoli può avvenire tramite una lettera greca minuscola, oppure indicando il vertice e un punto su ciascun lato, o ancora con la lettera del vertice seguita dalle lettere che identificano le semirette dei lati.

Compasso metallico lucido su carta con angolo acuto e goniometro semicircolare trasparente, riflessi di luce su superfici e ombra di mano con matita.

Tipologie di angoli in base alla loro posizione reciproca

Gli angoli possono essere classificati in base alla loro posizione reciproca in angoli consecutivi, adiacenti o opposti al vertice. Angoli consecutivi condividono un lato e il vertice, mentre angoli adiacenti, oltre a essere consecutivi, hanno i lati non comuni che giacciono sulla stessa retta. Angoli opposti al vertice si formano quando due rette si intersecano e sono sempre congruenti. Queste relazioni sono importanti per lo studio delle proprietà geometriche e per la risoluzione di problemi in geometria piana.

Confronto e operazioni con gli angoli

Per confrontare due angoli, si allineano i vertici e un lato, e si osserva la posizione del lato non coincidente. Se gli angoli sono identici, si dicono congruenti; altrimenti, uno è maggiore o minore dell'altro. L'addizione di angoli si realizza posizionando un angolo affinché il suo vertice coincida con quello dell'altro e un lato sia in continuazione dell'altro. La sottrazione di angoli si effettua sovrapponendo gli angoli in modo che un lato coincida e misurando l'apertura tra gli altri due lati. La bisettrice di un angolo è la semiretta che origina dal vertice e divide l'angolo in due angoli congruenti.

Angoli particolari e loro proprietà

Gli angoli particolari includono l'angolo nullo, con lati sovrapposti e ampiezza di 0°; l'angolo piatto, con lati opposti e ampiezza di 180°; l'angolo retto, che misura 90° e rappresenta la metà di un angolo piatto; e l'angolo giro, con lati sovrapposti che hanno compiuto un giro completo, pari a 360°. Angoli minori di un angolo retto sono detti acuti, mentre quelli maggiori di un angolo retto e minori di un angolo piatto sono definiti ottusi. La comprensione di questi angoli è cruciale per lo studio delle proprietà geometriche e per la risoluzione di problemi.

Angoli complementari, supplementari ed esplementari

Angoli complementari sono due angoli la cui somma è pari a un angolo retto (90°), mentre angoli supplementari sommano a un angolo piatto (180°). Angoli esplementari, invece, hanno una somma che corrisponde a un angolo giro (360°). Queste relazioni sono utilizzate per risolvere problemi geometrici e per analizzare le interazioni tra angoli all'interno di figure geometriche.

Reti parallele, perpendicolari e relative costruzioni

Due rette sono parallele se non si incontrano mai, indipendentemente dalla lunghezza del loro prolungamento su un piano. Il postulato delle parallele di Euclide stabilisce che, data una retta e un punto esterno ad essa, esiste una e una sola retta parallela alla data passante per il punto. Reti perpendicolari si intersecano formando angoli retti e possono essere costruite con l'uso di strumenti come riga e squadra. L'asse di un segmento è la perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio. Queste costruzioni sono essenziali per la geometria piana e per lo sviluppo di concetti geometrici più avanzati.

Distanza, proiezione e posizioni particolari dei segmenti

La distanza tra un punto e una retta è la lunghezza del segmento perpendicolare più breve che collega il punto alla retta. La proiezione di un punto su una retta è il punto in cui il segmento perpendicolare dalla retta al punto interseca la retta. La distanza tra due rette parallele è costante e misurata da un segmento perpendicolare che le congiunge. La proiezione di un segmento su una retta è il segmento definito dalle proiezioni degli estremi del segmento originale sulla retta. Questi concetti sono fondamentali per calcolare distanze e analizzare le relazioni spaziali tra elementi geometrici.

Angoli formati da rette parallele e una trasversale

Quando una trasversale interseca due rette parallele, si formano otto angoli con proprietà specifiche. Gli angoli alterni interni ed esterni sono congruenti tra loro, così come gli angoli corrispondenti. Gli angoli coniugati interni ed esterni sono supplementari. Queste relazioni sono utilizzate per dimostrare la parallelità tra rette e per risolvere problemi di geometria. La comprensione di queste proprietà è essenziale per lo studio della geometria euclidea.

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Geometria piana e angoli

Definizione di angolo

Formazione di un angolo

Un angolo è formato dall'intersezione di due semirette con un vertice comune

Classificazione degli angoli

Angoli acuti, retti, ottusi, piatti e giro

Gli angoli possono essere classificati in base alla loro ampiezza, che può essere minore di 90°, esattamente 90°, tra 90° e 180°, esattamente 180° o 360°

Angoli convessi e concavi

Gli angoli possono essere convessi, se non contengono i prolungamenti dei propri lati, o concavi, se li contengono

Notazione degli angoli

Gli angoli possono essere indicati con una lettera greca minuscola, con il vertice e un punto su ciascun lato o con la lettera del vertice seguita dalle lettere che identificano le semirette dei lati

Posizione reciproca degli angoli

Angoli consecutivi, adiacenti e opposti al vertice

Gli angoli consecutivi condividono un lato e il vertice, gli angoli adiacenti condividono un lato e hanno i lati non comuni sulla stessa retta, mentre gli angoli opposti al vertice si formano quando due rette si intersecano e sono sempre congruenti

Confronto tra angoli

Per confrontare due angoli si allineano i vertici e un lato e si osserva la posizione del lato non coincidente, se gli angoli sono identici si dicono congruenti, altrimenti uno è maggiore o minore dell'altro

Operazioni con gli angoli

Addizione di angoli

Per sommare due angoli si posiziona un angolo in modo che il suo vertice coincida con quello dell'altro e un lato sia in continuazione dell'altro

Sottrazione di angoli

Per sottrarre due angoli si sovrappongono in modo che un lato coincida e si misura l'apertura tra gli altri due lati

Bisettrice di un angolo

La bisettrice di un angolo è la semiretta che divide l'angolo in due angoli congruenti

Angoli particolari e loro proprietà

Angolo nullo, piatto, retto e giro

Gli angoli particolari includono l'angolo nullo, con lati sovrapposti e ampiezza di 0°, l'angolo piatto, con lati opposti e ampiezza di 180°, l'angolo retto, che misura 90° e rappresenta la metà di un angolo piatto, e l'angolo giro, con lati sovrapposti che hanno compiuto un giro completo, pari a 360°

Angoli acuti e ottusi

Angoli minori di un angolo retto sono detti acuti, mentre quelli maggiori di un angolo retto e minori di un angolo piatto sono definiti ottusi

Relazioni tra angoli

Angoli complementari e supplementari

Angoli complementari sono due angoli la cui somma è pari a un angolo retto (90°), mentre angoli supplementari sommano a un angolo piatto (180°)

Angoli esplementari

Angoli esplementari hanno una somma che corrisponde a un angolo giro (360°)

Utilizzo delle relazioni tra angoli

Le relazioni tra angoli sono utilizzate per risolvere problemi geometrici e per analizzare le interazioni tra angoli all'interno di figure geometriche

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