Mapa conceptual y resúmen FUNCIONES RACIONALES
Mapa conceptual
Las funciones racionales, definidas como cocientes de polinomios, son esenciales en matemáticas para modelar fenómenos y resolver problemas prácticos. Su dominio excluye valores que anulan el denominador, y su estudio incluye ceros y asíntotas. Estas funciones se aplican en física, química, ingeniería y más, ofreciendo una comprensión profunda de diversas situaciones.
Resumen
Esquema
Definición y Aplicaciones de las Funciones Racionales
Las funciones racionales son expresiones matemáticas compuestas por el cociente de dos polinomios, donde el denominador no puede ser cero en su dominio. Estas funciones son esenciales en el análisis matemático y se aplican en una amplia gama de disciplinas para modelar situaciones complejas. Por ejemplo, en física, la ley de gravitación universal de Newton puede expresarse mediante una función racional que relaciona la fuerza de atracción con la distancia entre dos masas. En economía, se utilizan para modelar tasas de cambio y en biología, para describir tasas de crecimiento poblacional. Las funciones racionales se dividen en reducibles e irreducibles, basándose en la posibilidad de simplificar términos comunes entre el numerador y el denominador.Modelado de Problemas Reales con Funciones Racionales
Las funciones racionales son herramientas matemáticas poderosas para modelar y resolver problemas del mundo real. Por ejemplo, en la ingeniería, se utilizan para diseñar sistemas de control o para predecir la caída de presión en tuberías. En la medicina, ayudan a entender la cinética de fármacos en el cuerpo. Estos ejemplos demuestran la capacidad de las funciones racionales para representar relaciones proporcionales o inversas entre variables, lo que es fundamental para el análisis y la toma de decisiones en ciencia, tecnología y otros campos aplicados.Dominio y Discontinuidades de las Funciones Racionales
El dominio de una función racional excluye los valores que anulan el denominador, ya que la división por cero no está definida. Determinar el dominio es un paso crítico en el análisis de estas funciones. Además, las funciones racionales pueden presentar discontinuidades, que son puntos donde la función no está definida o no es continua. Estas pueden ser discontinuidades removibles, donde la función puede ser redefinida para hacerla continua, o no removibles, como las asíntotas. Comprender estas características es vital para interpretar el comportamiento de la función y sus posibles aplicaciones.Ceros y Asíntotas en las Funciones Racionales
Los ceros de una función racional son los valores de la variable independiente que resultan en un valor de cero para la función, y se encuentran al resolver el numerador igualado a cero, siempre que estos no sean también raíces del denominador. Las asíntotas son líneas que la gráfica de la función se aproxima pero nunca toca. Pueden ser verticales, horizontales u oblicuas y representan el comportamiento límite de la función en ciertas direcciones. Identificar los ceros y las asíntotas es crucial para entender la naturaleza de la función y para su representación gráfica.Estrategias para Graficar Funciones Racionales
Graficar una función racional requiere un enfoque sistemático que comienza con la factorización de los polinomios para simplificar la función, si es posible. Luego, se determina el dominio y se identifican los ceros y las asíntotas. Con esta información, se puede esbozar la gráfica, prestando atención a cómo la función se comporta cerca de las discontinuidades y las asíntotas. La habilidad para graficar funciones racionales es fundamental en matemáticas, ya que proporciona una comprensión visual de las relaciones entre variables y facilita la interpretación de modelos matemáticos en contextos prácticos.
Mostrar más
1. DEFINICIÓN
FUNCIÓN RACIONAL
UNA FUNCIÓN RACIONAL ES AQUELLA QUE SE DEFINE EN TÉRMINOS DE COCIENTES DE POLINOMIOS
EJEMPLOS
FUNCIÓN RACIONAL REDUCIBLE
UNA FUNCIÓN RACIONAL REDUCIBLE ES AQUELLA QUE PUEDE SIMPLIFICARSE A UNA FUNCIÓN POLINOMIAL
FUNCIÓN RACIONAL IRREDUCIBLE
UNA FUNCIÓN RACIONAL IRREDUCIBLE ES AQUELLA QUE NO PUEDE SIMPLIFICARSE A UNA FUNCIÓN POLINOMIAL
CLASIFICACIÓN
LAS FUNCIONES RACIONALES PUEDEN CLASIFICARSE EN REDUCIBLES E IRREDUCIBLES
2. SITUACIONES QUE SE PUEDEN MODELAR CON FUNCIONES RACIONALES
PROBLEMA 1.1
EL PROBLEMA 1.1 PLANTEA UNA SITUACIÓN EN LA QUE SE PUEDE MODELAR UNA FUNCIÓN RACIONAL
PROBLEMA 1.2
EL PROBLEMA 1.2 PLANTEA OTRA SITUACIÓN EN LA QUE SE PUEDE MODELAR UNA FUNCIÓN RACIONAL
3. DOMINIO Y DISCONTINUIDAD
DOMINIO
EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS NÚMEROS REALES PARA LOS CUALES EL DENOMINADOR NO ES IGUAL A CERO
DISCONTINUIDAD
UNA FUNCIÓN RACIONAL PUEDE PRESENTAR DISCONTINUIDADES EN LOS PUNTOS DONDE EL DENOMINADOR SE ANULA
4. CEROS Y ASÍNTOTAS
CEROS
LOS CEROS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL SON LOS CEROS DE LA FUNCIÓN POLINOMIAL QUE DEFINE SU NUMERADOR
ASÍNTOTAS
ASÍNTOTAS VERTICALES
LAS ASÍNTOTAS VERTICALES SON RECTAS PARALELAS AL EJE Y QUE SE ACERCAN CADA VEZ MÁS A LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUANDO X SE APROXIMA A UN CERO DEL DENOMINADOR
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
LAS ASÍNTOTAS HORIZONTALES SON RECTAS PARALELAS AL EJE X QUE SE ACERCAN CADA VEZ MÁS A LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUANDO |X| CRECE INDEFINIDAMENTE
ASÍNTOTAS OBLICUAS
LAS ASÍNTOTAS OBLICUAS SON RECTAS NO PARALELAS A LOS EJES DE COORDENADAS QUE SE ACERCAN CADA VEZ MÁS A LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUANDO |X| CRECE INDEFINIDAMENTE
5. FUNCIÓN RACIONAL
ASÍNTOTAS
ASÍNTOTAS VERTICALES
LAS ASÍNTOTAS VERTICALES DE UNA FUNCIÓN RACIONAL SE DETERMINAN A TRAVÉS DEL TEOREMA 1.1
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
LAS ASÍNTOTAS HORIZONTALES DE UNA FUNCIÓN RACIONAL SE DETERMINAN A TRAVÉS DEL TEOREMA 1.2
GRÁFICA
LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN RACIONAL SE BOSQUEJA A TRAVÉS DE UNA ESTRATEGIA QUE INCLUYE LA FACTORIZACIÓN DEL NUMERADOR Y DENOMINADOR, LA DETERMINACIÓN DEL DOMINIO, CEROS, ORDENADA AL ORIGEN Y ASÍNTOTAS
COMPORTAMIENTO ALREDEDOR DE LAS ASÍNTOTAS VERTICALES
EL COMPORTAMIENTO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL ALREDEDOR DE SUS ASÍNTOTAS VERTICALES SE ANALIZA A TRAVÉS DE LOS LÍMITES LATERALES
FUNCIONES RACIONALES
Aprende con las flashcards de Algor Education
Haz clic en las tarjetas para aprender más sobre el tema
00
Definición matemática de funciones racionales
Son funciones expresadas como p/q, donde p y q son polinomios y q no es igual a cero.
01
Tipos de funciones racionales
Existen reducibles, con factores comunes en numerador y denominador, e irreducibles, sin factores comunes.
02
Ejemplos de fenómenos modelados por funciones racionales
Ley de Boyle-Mariotte, ley de gravitación universal de Newton y ley de Coulomb.
