Mapa conceptual y resúmen FRACCIONES Y OPERACIONES BÁSICAS
Mapa conceptual
Las fracciones son una representación de números que expresan partes de un todo, utilizadas en operaciones matemáticas como la suma, resta, multiplicación y división. Este concepto se extiende a las potencias de fracciones con exponente natural y la notación científica para simplificar la expresión de números grandes o pequeños. Además, se abordan técnicas como el truncamiento y el redondeo para manejar decimales en la vida cotidiana.
Resumen
Esquema
Conceptos Fundamentales de Fracciones
Las fracciones son expresiones matemáticas que representan la división de un entero en partes iguales. Cada fracción consta de un numerador, que indica la cantidad de partes seleccionadas, y un denominador, que muestra en cuántas partes iguales se divide el entero. Por ejemplo, en la fracción 3/4, el numerador es 3, lo que significa que se han tomado tres partes, y el denominador es 4, indicando que el entero se ha dividido en cuatro partes iguales. Las fracciones equivalentes son distintas fracciones que expresan el mismo valor; se pueden simplificar reduciendo ambos términos al máximo común divisor o amplificar multiplicándolos por un número común, para facilitar operaciones o comparaciones entre ellas.Representación y Tipología de Fracciones
Las fracciones se pueden representar gráficamente en la recta numérica, lo que facilita la comprensión de su valor y la comparación entre ellas. Existen dos categorías principales: las fracciones propias, donde el numerador es menor que el denominador, indicando una cantidad menor que la unidad, y las fracciones impropias, donde el numerador es igual o mayor que el denominador, representando una cantidad igual o mayor que la unidad. Para comparar fracciones con el mismo denominador, se observan los numeradores. Si los denominadores son diferentes, se busca un mínimo común denominador para convertirlas en fracciones equivalentes con el mismo denominador y así comparar los numeradores. Este proceso es esencial para ordenar fracciones de menor a mayor o viceversa.Operaciones Básicas con Fracciones
Las operaciones aritméticas básicas con fracciones incluyen la suma, resta, multiplicación y división. Para sumar o restar fracciones con denominadores iguales, se suman o restan los numeradores manteniendo el mismo denominador. Con denominadores diferentes, se busca un mínimo común denominador para homogeneizar las fracciones antes de sumar o restar los numeradores. La multiplicación de fracciones se realiza multiplicando los numeradores entre sí y los denominadores entre sí, y el resultado se simplifica si es posible. Para dividir fracciones, se multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda, es decir, se invierte la segunda fracción (intercambiando su numerador y denominador) y luego se procede a la multiplicación.Potenciación y Operaciones Combinadas de Fracciones
La potenciación de fracciones sigue las reglas generales de las potencias. Al elevar una fracción a un exponente, se elevan tanto el numerador como el denominador a ese exponente. El signo del resultado dependerá de la base y del exponente: una base positiva siempre resultará en una potencia positiva; una base negativa con un exponente par dará como resultado una potencia positiva; y una base negativa con un exponente impar resultará en una potencia negativa. Las operaciones combinadas con fracciones deben realizarse respetando la jerarquía de operaciones, es decir, primero se efectúan las potencias y raíces, seguido de las multiplicaciones y divisiones, y finalmente las sumas y restas, para obtener el resultado correcto.Aplicaciones Prácticas de Fracciones y Métodos de Aproximación
Las fracciones son ampliamente utilizadas en la vida cotidiana para medir, cocinar, dividir objetos y en muchas otras situaciones donde se requiere expresar partes de un todo. En contextos prácticos, a menudo se recurre a métodos de aproximación como el truncamiento y el redondeo para trabajar con números más manejables. El truncamiento consiste en eliminar cifras decimales a partir de un cierto lugar sin realizar ningún ajuste adicional, mientras que el redondeo implica ajustar la última cifra retenida en función de las cifras que se descartan. Estos métodos permiten simplificar los cálculos y facilitar la interpretación de los resultados en situaciones reales, aunque es importante considerar el nivel de precisión requerido en cada caso.
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1. DEFINICIÓN DE FRACCIONES
REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES
LAS FRACCIONES SON UNA FORMA DE REPRESENTAR NÚMEROS, PARTES DE UN TODO O PORCENTAJES, MEDIANTE UN NUMERADOR Y UN DENOMINADOR
FRACCIONES EQUIVALENTES
DOS FRACCIONES SON EQUIVALENTES SI REPRESENTAN EL MISMO NÚMERO Y SE PUEDEN OBTENER MULTIPLICANDO O DIVIDIENDO SUS EXTREMOS Y MEDIOS
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
PARA SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN SE DIVIDE SU NUMERADOR Y DENOMINADOR POR SU MÁXIMO COMÚN DIVISOR, OBTENIENDO UNA FRACCIÓN IRREDUCIBLE
2. REPRESENTACIÓN Y ORDENACIÓN DE FRACCIONES
FRACCIONES PROPIAS E IMPROPIAS
LAS FRACCIONES PROPIAS TIENEN UN NUMERADOR MENOR QUE EL DENOMINADOR, MIENTRAS QUE LAS FRACCIONES IMPROPIAS TIENEN UN NUMERADOR MAYOR
ORDENACIÓN DE FRACCIONES
PARA ORDENAR FRACCIONES SE PUEDEN UTILIZAR LA RECTA NUMÉRICA O COMPARAR SUS NUMERADORES Y DENOMINADORES
OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES
PARA OBTENER FRACCIONES EQUIVALENTES SE PUEDEN MULTIPLICAR O DIVIDIR SU NUMERADOR Y DENOMINADOR POR EL MISMO NÚMERO
3. OPERACIONES BÁSICAS CON FRACCIONES
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
PARA SUMAR O RESTAR FRACCIONES SE DEBEN TENER EN CUENTA SI TIENEN EL MISMO DENOMINADOR O NO, Y REDUCIRLAS A COMÚN DENOMINADOR SI ES NECESARIO
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
PARA MULTIPLICAR FRACCIONES SE MULTIPLICAN SUS NUMERADORES Y DENOMINADORES, Y SE SIMPLIFICA EL RESULTADO SI ES POSIBLE
DIVISIÓN DE FRACCIONES
PARA DIVIDIR FRACCIONES SE MULTIPLICAN EN CRUZ SUS TÉRMINOS, OBTENIENDO EL PRODUCTO DE EXTREMOS EN EL NUMERADOR Y EL PRODUCTO DE MEDIOS EN EL DENOMINADOR
4. POTENCIAS DE FRACCIONES CON EXPONENTE NATURAL
CÁLCULO DE POTENCIAS DE FRACCIONES
PARA CALCULAR LA POTENCIA DE UNA FRACCIÓN SE MULTIPLICA SU BASE TANTAS VECES COMO INDIQUE EL EXPONENTE, TENIENDO EN CUENTA EL SIGNO SI LA BASE ES NEGATIVA
OPERACIONES CON POTENCIAS DE FRACCIONES
PARA OPERAR CON POTENCIAS DE FRACCIONES SE PUEDEN UTILIZAR LAS PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS, COMO LA SUMA, RESTA, PRODUCTO Y COCIENTE DE POTENCIAS CON IGUAL BASE
5. FRACCIONES
DEFINICIÓN DE FRACCIÓN
UNA FRACCIÓN ES UN COCIENTE ENTRE DOS NÚMEROS QUE REPRESENTA UN VALOR
TRANSFORMACIÓN DE FRACCIONES A DECIMALES
FRACCIONES EXACTAS
PARA TRANSFORMAR UNA FRACCIÓN EXACTA A DECIMAL, SE DIVIDE EL NUMERADOR ENTRE EL DENOMINADOR
FRACCIONES PERIÓDICAS PURAS
PARA TRANSFORMAR UNA FRACCIÓN PERIÓDICA PURA A DECIMAL, SE DIVIDE EL NÚMERO INCLUYENDO EL PERIODO ENTRE TANTOS NUEVES COMO CIFRAS TIENE EL PERIODO
FRACCIONES PERIÓDICAS MIXTAS
PARA TRANSFORMAR UNA FRACCIÓN PERIÓDICA MIXTA A DECIMAL, SE DIVIDE EL NÚMERO HASTA EL PERIODO Y EL ANTEPERIODO ENTRE TANTOS NUEVES COMO CIFRAS TIENE EL PERIODO SEGUIDO DE TANTOS CEROS COMO CIFRAS TIENE EL ANTEPERIODO
RELACIÓN ENTRE FRACCIONES Y DECIMALES
LOS NÚMEROS DECIMALES QUE SE PUEDEN REPRESENTAR A TRAVÉS DE UNA FRACCIÓN FORMAN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
6. POTENCIAS DE BASE 10 Y NOTACIÓN CIENTÍFICA
DEFINICIÓN DE POTENCIAS DE BASE 10
LAS POTENCIAS DE BASE 10 SON NÚMEROS QUE SE OBTIENEN AL MULTIPLICAR 10 POR SÍ MISMO UN NÚMERO DETERMINADO DE VECES
NOTACIÓN CIENTÍFICA
LA NOTACIÓN CIENTÍFICA SE UTILIZA PARA REPRESENTAR NÚMEROS MUY GRANDES O MUY PEQUEÑOS DE MANERA MÁS COMPACTA, UTILIZANDO POTENCIAS DE BASE 10
EJEMPLOS DE POTENCIAS DE BASE 10 Y NOTACIÓN CIENTÍFICA
LA MASA DE LA LUNA Y DEL NEUTRÓN SE PUEDEN REPRESENTAR EN NOTACIÓN CIENTÍFICA PARA EVITAR ESCRIBIR TANTOS CEROS
7. APROXIMACIONES, TRUNCAMIENTOS Y REDONDEO
DEFINICIÓN DE APROXIMACIONES
LAS APROXIMACIONES SON VALORES CERCANOS A UN NÚMERO DETERMINADO
TRUNCAMIENTO Y REDONDEO
EL TRUNCAMIENTO Y EL REDONDEO SON MÉTODOS PARA APROXIMAR UN NÚMERO DECIMAL A OTRO CON MENOS CIFRAS DECIMALES
EJEMPLOS DE TRUNCAMIENTO Y REDONDEO
SE PUEDEN UTILIZAR EL TRUNCAMIENTO Y EL REDONDEO PARA APROXIMAR UN NÚMERO DECIMAL A OTRO CON MENOS CIFRAS DECIMALES, SIENDO EL REDONDEO MÁS PRECISO
FRACCIONES Y OPERACIONES BÁSICAS
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00
En matemáticas, las ______ se consideran una representación de una cantidad o un ______ de algo.
fracciones
porcentaje
01
Una fracción está formada por un ______ y un ______, como se muestra en el ejemplo 3/4.
numerador
denominador
02
Representación de fracciones en la recta numérica
Las fracciones se ubican en la recta numérica según su valor; las propias entre 0 y 1, las impropias superan el valor de 1.
