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El cálculo diferencial es crucial para entender cómo cambian las funciones continuas. Utiliza derivadas para medir tasas de cambio y límites para analizar comportamientos. Su historia se remonta a la antigua Grecia, pero fue perfeccionado en el siglo XIX por matemáticos como Cauchy y Riemann. Las derivadas revelan puntos críticos y extremos locales en funciones, y son vitales en la aproximación de Taylor para una mejor comprensión funcional.
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LA DERIVADA ES LA TASA DE CAMBIO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ESPECÍFICO
LA DIFERENCIACIÓN SE REFIERE A LA EXISTENCIA DE LA DERIVADA EN UN PUNTO, MIENTRAS QUE LA DIFERENCIABILIDAD SE REFIERE A LA EXISTENCIA DE UNA APROXIMACIÓN LINEAL EN UN ENTORNO DE UN PUNTO
LA NOCIÓN DE DERIVADA SE PUEDE ENTENDER COMO EL LÍMITE DE LA PENDIENTE DE LAS RECTAS SECANTES QUE SE ACERCAN A LA RECTA TANGENTE
LAS DERIVADAS PARCIALES SE REFIEREN A LA TASA DE CAMBIO DE UNA FUNCIÓN EN UNA VARIABLE ESPECÍFICA, MANTENIENDO LAS DEMÁS CONSTANTES
EL JACOBIANO ES UNA MATRIZ QUE REPRESENTA LA APROXIMACIÓN LINEAL DE UNA FUNCIÓN EN UN ENTORNO DE UN PUNTO EN EL ESPACIO EUCLIDIANO
LA REGLA DE LA CADENA PERMITE CALCULAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA A PARTIR DE LAS DERIVADAS DE SUS FUNCIONES COMPONENTES
LOS PROBLEMAS QUE DIERON ORIGEN AL CÁLCULO DIFERENCIAL SE PLANTEARON EN LA ANTIGUA GRECIA, PERO NO SE ENCONTRARON MÉTODOS SISTEMÁTICOS DE RESOLUCIÓN HASTA EL SIGLO XVII
NEWTON Y LEIBNIZ SINTETIZARON LOS CONCEPTOS Y MÉTODOS DE SUS PREDECESORES PARA DESARROLLAR REGLAS DE DERIVACIÓN Y DEMOSTRAR QUE LA DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN SON INVERSAS
EN EL SIGLO XIX, MATEMÁTICOS COMO CAUCHY, RIEMANN Y WEIERSTRASS APORTARON RIGUROSIDAD AL CÁLCULO DIFERENCIAL Y LO GENERALIZARON AL ESPACIO EUCLIDIANO Y AL PLANO COMPLEJO
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ES LA TASA DE CAMBIO INSTANTÁNEA DE DICHA FUNCIÓN EN ESE PUNTO
PUNTOS CRÍTICOS
LOS PUNTOS CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN SON AQUELLOS EN LOS QUE SU PRIMERA DERIVADA ES IGUAL A CERO, Y PUEDEN SER MÁXIMOS, MÍNIMOS O PUNTOS DE INFLEXIÓN
APROXIMACIÓN LOCAL DE TAYLOR
LA APROXIMACIÓN LOCAL DE TAYLOR PERMITE APROXIMAR UNA FUNCIÓN MEDIANTE SU RECTA TANGENTE EN UN PUNTO, Y SE PUEDE EXTENDER A POLINOMIOS DE GRADO SUPERIOR PARA OBTENER UNA MEJOR APROXIMACIÓN
CÁLCULO DE PUNTOS
LOS PUNTOS FRONTERA, INTERIORES, CRÍTICOS, SINGULARES, ESTACIONARIOS Y DE INFLEXIÓN SON IMPORTANTES PARA EL CÁLCULO DE FUNCIONES
EN FUNCIONES CON MÁS DE UNA VARIABLE, SE UTILIZAN LAS DERIVADAS PARCIALES PARA CALCULAR LA TASA DE CAMBIO EN UNA VARIABLE MANTENIENDO LAS DEMÁS CONSTANTES, Y SE PUEDEN EXTENDER A VARIEDADES PARA OBTENER UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL ENTRE LOS ESPACIOS TANGENTES
00
La ______ diferencial es clave para estudiar cómo las funciones ______ varían con sus variables.
rama
continuas
01
La herramienta principal de este campo es la ______, que mide la tasa de cambio en un punto ______.
derivada
determinado
02
Definición de función diferenciable
Una función es diferenciable si tiene una aproximación lineal en un punto, lo que permite analizar su tasa de cambio.
