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Mapa conceptual y resúmen LOS NÚMEROS REALES

Mapa conceptual

Explorando los números racionales e irracionales, este contenido aborda su densa distribución en la recta numérica y su representación decimal. Se destaca la utilidad del valor absoluto en ecuaciones y la precisión de las cifras significativas en mediciones. Además, se explica la notación científica y su aplicación con calculadoras especializadas para facilitar el manejo de números extremos.

Resumen

Esquema

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    LOS NÚMEROS REALES

  • 1. LOS NÚMEROS RACIONALES

  • CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS RACIONALES

  • LOS NÚMEROS RACIONALES PUEDEN EXPRESARSE COMO FRACCIONES O DECIMALES FINITOS O PERIÓDICOS

  • CONJUNTO Q

  • EL CONJUNTO DE TODOS LOS NÚMEROS RACIONALES SE DESIGNA POR Q Y ES DENSO EN R

  • DENSIDAD DE LOS NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA

  • ENTRE DOS NÚMEROS RACIONALES HAY INFINITOS NÚMEROS RACIONALES, PERO TAMBIÉN HAY INFINITOS PUNTOS NO OCUPADOS POR ELLOS

  • 2. LOS NÚMEROS IRRACIONALES

  • CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

  • LOS NÚMEROS IRRACIONALES NO PUEDEN EXPRESARSE COMO FRACCIONES Y TIENEN INFINITAS CIFRAS NO PERIÓDICAS EN SU EXPRESIÓN DECIMAL

  • CONJUNTO I

  • EL CONJUNTO DE TODOS LOS NÚMEROS IRRACIONALES SE DESIGNA POR I

  • NÚMEROS REALES

  • TANTO LOS NÚMEROS RACIONALES COMO LOS IRRACIONALES SE LLAMAN NÚMEROS REALES Y LLENAN LA RECTA NUMÉRICA

  • 3. REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES EN LA RECTA

  • FORMAS DE REPRESENTAR UN NÚMERO REAL

  • UN NÚMERO ENTERO O DECIMAL EXACTO SE REPRESENTA EN LA RECTA NUMÉRICA DE FORMA PUNTUAL, MIENTRAS QUE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO O NO PERIÓDICO SE REPRESENTA APROXIMADAMENTE MEDIANTE UN INTERVALO DE VALORES

  • INTERVALOS Y SEMIRRECTAS

  • LOS INTERVALOS Y SEMIRRECTAS SE UTILIZAN PARA EXPRESAR TRAMOS DE LA RECTA NUMÉRICA

  • DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

  • LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ES SU DIFERENCIA EN VALOR ABSOLUTO

  • 4. VALOR ABSOLUTO Y ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

  • DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO

  • 5. EXPRESIONES DECIMALES APROXIMADAS

  • REDONDEO

  • UTILIZAMOS EL REDONDEO PARA EXPRESAR NÚMEROS REALES CON MUCHAS CIFRAS DECIMALES

  • ERRORES EN LAS APROXIMACIONES

  • ERROR ABSOLUTO

  • EL ERROR ABSOLUTO SE CALCULA RESTANDO EL VALOR REAL DEL VALOR DE MEDICIÓN

  • ERROR RELATIVO

  • EL ERROR RELATIVO SE CALCULA DIVIDIENDO EL VALOR REAL ENTRE EL ERROR ABSOLUTO

  • COTAS DE LOS ERRORES

  • LAS COTAS DE LOS ERRORES SON NÚMEROS MAYORES O IGUALES QUE EL VALOR ABSOLUTO DE LOS ERRORES

  • 6. CIFRAS SIGNIFICATIVAS

  • DEFINICIÓN DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

  • LAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS SON AQUELLAS QUE SE UTILIZAN PARA EXPRESAR UN NÚMERO APROXIMADO

  • UTILIZACIÓN DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

  • ERROR ABSOLUTO EN CIFRAS SIGNIFICATIVAS

  • EL ERROR ABSOLUTO SUELE SER MENOR QUE 5 UNIDADES DEL LUGAR SIGUIENTE AL DE LA ÚLTIMA CIFRA SIGNIFICATIVA UTILIZADA

  • ERROR RELATIVO EN CIFRAS SIGNIFICATIVAS

  • EL ERROR RELATIVO ES MENOR CUANTO MÁS CIFRAS SIGNIFICATIVAS SE UTILIZAN

  • 7. NOTACIÓN CIENTÍFICA

  • DEFINICIÓN DE NOTACIÓN CIENTÍFICA

  • LA NOTACIÓN CIENTÍFICA SE UTILIZA PARA EXPRESAR NÚMEROS MUY GRANDES O MUY PEQUEÑOS

  • ESTRUCTURA DE LA NOTACIÓN CIENTÍFICA

  • PARTES DE LA NOTACIÓN CIENTÍFICA

  • LA NOTACIÓN CIENTÍFICA CONSTA DE UNA PARTE ENTERA, UNA PARTE DECIMAL Y UNA POTENCIA DE BASE 10

  • SIGNIFICADO DE LA POTENCIA DE BASE 10

  • LA POTENCIA DE BASE 10 INDICA EL ORDEN DE MAGNITUD DEL NÚMERO

  • OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

  • LAS OPERACIONES DE PRODUCTO Y COCIENTE SON INMEDIATAS, MIENTRAS QUE EN SUMAS Y RESTAS ES NECESARIO PREPARAR LOS SUMANDOS PARA QUE TENGAN LA MISMA POTENCIA DE BASE 10

  • 8. CALCULADORA PARA LA NOTACIÓN CIENTÍFICA

  • INTERPRETACIÓN DE LA NOTACIÓN CIENTÍFICA EN LA CALCULADORA

  • LA CALCULADORA INTERPRETA LA NOTACIÓN CIENTÍFICA COMO UN NÚMERO CON UNA POTENCIA DE BASE 10

  • ESCRITURA DE LA NOTACIÓN CIENTÍFICA EN LA CALCULADORA

  • PARA ESCRIBIR UN NÚMERO EN NOTACIÓN CIENTÍFICA EN LA CALCULADORA, SE UTILIZA LA EXPRESIÓN "EXP" SEGUIDA DE LA POTENCIA DE BASE 10

  • MODO CIENTÍFICO EN LA CALCULADORA

  • EL MODO CIENTÍFICO PERMITE TRABAJAR CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA Y ESPECIFICAR LA CANTIDAD DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

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00

En la recta numérica, entre cualquier par de números ______ siempre existen infinitos números ______.

racionales

racionales

01

Representación de irracionales

Los números irracionales se representan con la letra I y están en la recta numérica, pero no tienen expresión decimal exacta.

02

Ejemplos de números irracionales

Pi (π) y la raíz cuadrada de 2 (√2) son ejemplos de números irracionales con cifras decimales infinitas no periódicas.

03

La ______ ______ es clave para analizar los números reales, incluyendo racionales e ______.

recta

real

irracionales

04

Definición de valor absoluto

Distancia de un número al origen en la recta numérica, siempre positiva.

05

Notación de valor absoluto

Se representa con dos barras verticales, ej: |x|.

06

Valor absoluto de números negativos

Convierte números negativos en su equivalente positivo.

07

Las ______ decimales aproximadas son útiles para trabajar con números que tienen muchas o ______ cifras decimales.

expresiones

infinitas

08

Importancia de cifras comprobadas en mediciones

Solo se deben usar cifras significativas verificadas para garantizar la precisión de una medición.

09

Relación entre error relativo y cifras significativas

El error relativo disminuye a medida que aumenta el número de cifras significativas en una medición.

10

La notación científica permite expresar números extremadamente ______ o ______ de una manera simplificada.

grandes

pequeños

11

Uso de notación científica en calculadoras

Permite trabajar con números extremadamente grandes o pequeños de manera eficiente.

12

Establecimiento de cifras significativas

Posibilita precisión en los cálculos al definir el número de dígitos relevantes.

Preguntas y respuestas

Aquí tienes una lista de las preguntas más frecuentes sobre este tema

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Definición y Propiedades de los Números Racionales

Los números racionales, denotados por el símbolo \(\mathbb{Q}\), comprenden todos los números que pueden expresarse como el cociente \( \frac{a}{b} \), donde \( a \) y \( b \) son enteros y \( b \neq 0 \). Estos números se caracterizan por tener una representación decimal que puede ser exacta (termina después de un número finito de dígitos) o periódica (un grupo de dígitos se repite indefinidamente). Los racionales son densos en la recta numérica, lo que significa que entre cualquier par de números racionales hay infinitos racionales más. Este conjunto incluye los números enteros, así como los decimales finitos y periódicos, y es cerrado bajo las operaciones de suma, resta, multiplicación y división (excepto por la división entre cero).
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Características Distintivas de los Números Irracionales

Los números irracionales, que no pertenecen al conjunto \(\mathbb{Q}\), son aquellos que no pueden ser expresados como el cociente de dos enteros. Se distinguen por tener una expansión decimal infinita no periódica, lo que implica que no pueden ser representados exactamente por una fracción o un decimal finito. Ejemplos clásicos de números irracionales son el número pi (\(\pi\)) y la raíz cuadrada de 2 (\(\sqrt{2}\)). Aunque no se pueden expresar como fracciones, los irracionales también se encuentran en la recta numérica y son esenciales para completar el conjunto de los números reales, \(\mathbb{R}\), que es la unión de los conjuntos de números racionales e irracionales.

La Representación de los Números en la Recta Numérica

La recta numérica es una representación visual fundamental de los números reales, que incluye tanto racionales como irracionales. Cada punto en la recta corresponde a un número real y viceversa. Los números racionales se pueden encontrar en posiciones específicas, mientras que los irracionales llenan los "huecos" entre los racionales. Esta representación ilustra la densidad de los racionales y la completitud de los reales, mostrando cómo ambos conjuntos coexisten y forman el continuo numérico.

El Concepto de Valor Absoluto en Matemáticas

El valor absoluto de un número real, representado por \( |x| \), es la distancia no negativa de \( x \) al cero en la recta numérica. Es una medida de magnitud que ignora la dirección. En el contexto de las ecuaciones, el valor absoluto genera dos posibles casos: uno donde \( x \) es positivo y otro donde \( x \) es negativo. Al resolver ecuaciones con valor absoluto, se deben considerar ambas posibilidades para encontrar todas las soluciones válidas, lo que a menudo resulta en dos soluciones distintas para una variable.

Aproximaciones Decimales en Cálculos Numéricos

Las aproximaciones decimales son esenciales cuando se trabaja con números que tienen muchas cifras decimales o son infinitos. El proceso de redondeo proporciona un valor cercano al número original, pero introduce un error de aproximación. Este error puede ser cuantificado mediante el error absoluto, que es la diferencia entre el valor aproximado y el valor real, y el error relativo, que es el error absoluto dividido por el valor real. Aunque las aproximaciones no son exactas, un número adecuado de cifras significativas puede reducir el error y proporcionar una estimación precisa para la mayoría de las aplicaciones prácticas.

La Relevancia de las Cifras Significativas

Las cifras significativas son los dígitos de un número que aportan información sobre la precisión de una medición o cálculo. Es importante utilizar solo cifras significativas cuya precisión esté garantizada. Generalmente, el error absoluto de una medición debe ser menor que la mitad de la unidad del último dígito significativo. A medida que se aumenta el número de cifras significativas, el error relativo tiende a disminuir, mejorando la precisión de la medición o cálculo.

Utilidad de la Notación Científica en Matemáticas

La notación científica es una forma de escribir números muy grandes o muy pequeños de manera concisa. Un número se representa como un producto de un número entre 1 y 10 y una potencia de diez. Esta notación facilita la realización de cálculos y la comparación de magnitudes al estandarizar la forma en que se presentan los números. Es especialmente útil en ciencias y matemáticas para manejar cifras que varían en órdenes de magnitud.

Estrategias para Operar con Notación Científica

El manejo de la notación científica se simplifica con el uso de herramientas como calculadoras científicas o software matemático, que permiten realizar operaciones automáticamente en este formato. Estas herramientas facilitan la selección de la cantidad de cifras significativas deseadas y ayudan a evitar errores comunes al trabajar con números extremadamente grandes o pequeños. La notación científica, por tanto, es una habilidad valiosa para estudiantes y profesionales que trabajan con datos cuantitativos.

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