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Funciones Matemáticas

Las funciones matemáticas son relaciones unívocas entre conjuntos que vinculan elementos de un dominio con un codominio. Se describen mediante fórmulas, gráficos y tablas, y varían en tipos como lineales, cuadráticas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Cada una posee propiedades únicas como monotonía y extremos, y pueden sufrir transformaciones geométricas. Su comprensión es esencial en campos como el cálculo diferencial y el análisis matemático.

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1

El ______ incluye todos los valores posibles de la variable ______, usualmente simbolizada por ______.

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dominio independiente x

2

Para describir ______ se pueden utilizar métodos como la explicación ______, una tabla de ______, una representación ______ o una fórmula ______.

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funciones verbalmente valores gráfica algebraica

3

Función creciente en intervalo

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Si para todo x1 < x2 en el intervalo, f(x1) ≤ f(x2), la función es creciente.

4

Función decreciente en intervalo

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Si para todo x1 < x2 en el intervalo, f(x1) ≥ f(x2), la función es decreciente.

5

Análisis de extremos mediante primera derivada

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Los extremos locales o globales se hallan donde la primera derivada se anula o cambia de signo.

6

Las ______ son un tipo de función polinómica y se visualizan como líneas rectas en el plano ______.

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funciones lineales cartesiano

7

La ecuación de una función lineal es y = mx + b, donde 'm' representa la ______ y 'b' la ______ al origen.

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pendiente ordenada

8

En las funciones cuadráticas, el signo del coeficiente 'a' indica la ______ de la parábola.

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concavidad

9

Para dibujar una parábola, se identifica el ______ y se emplea la simetría respecto a la línea vertical que lo atraviesa.

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vértice

10

Dominio de funciones racionales

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Conjunto de valores reales para los cuales el denominador del cociente no es cero.

11

Hipérbolas como funciones racionales

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Funciones de proporcionalidad inversa con asíntotas verticales y horizontales.

12

Asíntotas de hipérbolas

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Líneas rectas a las que se aproxima la gráfica de la función sin llegar a intersectarlas.

13

Las funciones con ______ en su fórmula solo aceptan valores que no hagan negativo el ______ si este es par.

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radicales radicando

14

Una función ______ se representa como f(x) = a^x y su gráfica siempre intersecta el eje y en (0,1).

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exponencial

15

Si en una función exponencial la base a es mayor que 1, la función es ______; si a está entre 0 y 1, es ______.

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creciente decreciente

16

El conjunto de valores que puede tomar x en una función exponencial es el conjunto de los ______.

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números reales

17

Base de un logaritmo

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Número positivo y distinto de uno que define la operación inversa a la exponencial en la función logarítmica.

18

Dominio de funciones logarítmicas

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Conjunto de todos los números reales positivos, ya que el logaritmo de números no positivos no está definido.

19

Asíntota vertical en funciones logarítmicas

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Línea x = 0 hacia la cual se aproxima la gráfica de la función logarítmica, pero nunca la toca.

Preguntas y respuestas

Aquí tienes una lista de las preguntas más frecuentes sobre este tema

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Definición y Representación de Funciones Matemáticas

En matemáticas, una función es una relación unívoca entre dos conjuntos que asocia a cada elemento del primero, denominado dominio, un único elemento del segundo, llamado codominio. El dominio consiste en todos los valores que puede tomar la variable independiente, comúnmente representada por x, mientras que el codominio es el conjunto de posibles valores de la variable dependiente, representada por y. Para una función real de variable real, se establece una correspondencia entre números reales de tal manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y, expresado como y = f(x). Las funciones pueden ser descritas de varias maneras: verbalmente, con una tabla de valores, mediante una representación gráfica o con una fórmula algebraica. Es fundamental para el estudio de las funciones comprender estas representaciones y saber cómo pasar de una a otra.
Pizarra verde oscuro con trazos de tiza formando curvas y líneas entrecruzadas, borrador y tizas de colores apoyadas al lado.

Características y Comportamiento de las Funciones

Las funciones se distinguen por propiedades como la monotonía, que describe su crecimiento o decrecimiento en intervalos específicos. Una función es creciente en un intervalo si, para cualquier par de valores x1 y x2 dentro del intervalo donde x1 < x2, se cumple que f(x1) ≤ f(x2); es decreciente si se da la relación inversa. Las funciones también pueden tener extremos locales, que son los valores máximos o mínimos dentro de un intervalo, o globales, que son los más altos o bajos en todo el dominio. La identificación de estos extremos puede realizarse mediante el análisis de la primera derivada de la función, un concepto perteneciente al cálculo diferencial.

Tipos de Funciones y sus Representaciones Gráficas

Existen diversos tipos de funciones, cada una con características y representaciones gráficas particulares. Las funciones lineales, un caso de las funciones polinómicas, se representan como rectas en el plano cartesiano y se definen por la ecuación y = mx + b, donde m es la pendiente y b la ordenada al origen. Las funciones cuadráticas, otro tipo de función polinómica, generan parábolas y se representan por la ecuación y = ax^2 + bx + c. El signo del coeficiente a determina la concavidad de la parábola. Para graficarlas, se determina el vértice y se utiliza la simetría de la parábola respecto a la línea vertical que pasa por él, junto con una tabla de valores para puntos adicionales.

Transformaciones de Funciones y Funciones Racionales

Las funciones pueden experimentar transformaciones geométricas como traslaciones, reflexiones y dilataciones o contracciones, que modifican su gráfica de manera predecible sin alterar su naturaleza. Las funciones racionales, que son cocientes de dos polinomios, tienen un dominio que excluye los valores que hacen cero al denominador. Un caso particular de las funciones racionales son las hipérbolas, que corresponden a funciones de proporcionalidad inversa y se caracterizan por tener asíntotas verticales y horizontales, con gráficas que se aproximan a estas líneas sin tocar los ejes.

Funciones Irracionales y Exponenciales

Las funciones irracionales se caracterizan por incluir radicales en su expresión. El dominio de estas funciones está restringido a los valores que hacen que el radicando sea no negativo cuando el índice del radical es par. Las funciones exponenciales tienen la forma f(x) = a^x, donde a es una base positiva y diferente de uno. Estas funciones tienen como dominio el conjunto de los números reales y su gráfica siempre cruza el eje y en el punto (0,1). La función es creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1, reflejando un crecimiento o decrecimiento exponencial respectivamente.

Funciones Logarítmicas y Funciones a Trozos

Las funciones logarítmicas son las inversas de las exponenciales y se definen como f(x) = log_a(x), donde a es la base del logaritmo y debe ser un número positivo distinto de uno. El dominio de estas funciones se limita a los valores positivos de x, y su gráfica tiene una asíntota vertical en x = 0. Las funciones a trozos, por su parte, se definen por diferentes expresiones en distintos intervalos de su dominio. Al graficarlas, es importante considerar cada segmento en su intervalo correspondiente y determinar si los puntos finales del intervalo están incluidos en la función, lo cual se indica con círculos cerrados o abiertos en la gráfica.