Fundamentos del Cálculo Infinitesimal

Fundamentos del Cálculo Infinitesimal: El Concepto de Límite

El cálculo infinitesimal es una disciplina matemática que se basa en el concepto de límite, el cual es fundamental para el manejo de los números reales. A diferencia de los números racionales, los números reales satisfacen el Axioma del supremo, que asegura la existencia de un límite superior más pequeño para conjuntos acotados. Este capítulo comienza con el estudio de los números reales, seguido por la introducción de sucesiones y series de números reales, que son conceptos estrechamente vinculados y que llevan a la noción de convergencia y sumas infinitas. Luego, se examinan las funciones reales y la aplicación de límites al aproximarse a un punto específico o al tender hacia infinito, introduciendo así el concepto de continuidad. Finalmente, se extienden las ideas de sucesiones y series a las funciones, discutiendo dos tipos de convergencia y sus respectivas propiedades.

Intervalos y Propiedades del Orden en los Números Reales

Los intervalos son subconjuntos de la recta numérica que incluyen segmentos y semirrectas, definidos mediante números reales y relaciones de orden, resultando en intervalos abiertos, cerrados o mixtos. Los extremos de estos intervalos son los valores que los limitan. Además, se pueden determinar puntos medios y radios de intervalos, y representarlos a través del valor absoluto. En cuanto a las propiedades del orden, los números reales son reflexivos, antisimétricos y transitivos, y mantienen relaciones coherentes con la suma y la multiplicación. Estas propiedades son esenciales para comprender la estructura algebraica de los números reales y su representación en la recta numérica.

El Valor Absoluto y la Desigualdad Triangular

El valor absoluto de un número real mide su distancia al cero en la recta numérica y es siempre un número no negativo, excepto para el cero. Una de sus propiedades más importantes es la desigualdad triangular, que afirma que la suma de los valores absolutos de dos números es siempre mayor o igual al valor absoluto de su suma. Esta propiedad es fundamental en el análisis matemático y tiene aplicaciones significativas en la demostración de la convergencia de sucesiones y series.

El Espacio de los Números Reales y su Construcción

El conjunto de los números reales, denotado por \(\mathbb{R}\), abarca tanto números racionales como irracionales, creando una secuencia de inclusiones desde los números naturales hasta los reales. Los números irracionales, como la raíz cuadrada de dos y el número \(\pi\), son ejemplos de cantidades que no pueden ser expresadas por números racionales. La construcción de \(\mathbb{R}\) es esencial para el cálculo infinitesimal, ya que se fundamenta en la completación de los números racionales mediante los límites de sucesiones específicas de estos números.

Sucesiones en el Cálculo Infinitesimal

Las sucesiones son funciones que asignan a cada número natural un número real y son cruciales en el cálculo infinitesimal, particularmente en el análisis de la convergencia. Una sucesión puede ser constante, como la que asigna el valor de \(\pi\) a cada entrada, o puede ser variable, como la que produce números impares. Entender la convergencia de sucesiones es vital para el progreso en el cálculo infinitesimal, ya que proporciona la base para comprender conceptos más avanzados como las series y las funciones.

El Axioma del Supremo y su Importancia

El Axioma del supremo es una característica distintiva de los números reales que garantiza la existencia de un supremo para cualquier conjunto no vacío que esté acotado superiormente. Este axioma es fundamental para numerosos teoremas en matemáticas, y su aparente simplicidad no debe llevar a subestimar su relevancia. Ni los números racionales ni los irracionales por sí mismos satisfacen este axioma sin la estructura de los números reales. La existencia del supremo y del ínfimo en conjuntos acotados es esencial para el desarrollo del cálculo infinitesimal y para entender completamente la estructura de \(\mathbb{R}\).