Las sucesiones de números reales y su convergencia hacia límites finitos o infinitos son esenciales en análisis matemático. Se abordan propiedades como la monotonía y acotación, así como métodos prácticos para calcular límites, incluyendo el Criterio de Stolz y la Regla del Sandwich. Estas herramientas son cruciales para entender el comportamiento de las sucesiones y su impacto en diversas aplicaciones matemáticas.
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Una sucesión de números reales es una correspondencia ordenada entre números naturales y números reales
Aproximación progresiva hacia un límite
La convergencia de una sucesión se caracteriza por la aproximación progresiva de sus términos hacia un valor real específico, conocido como límite
Condiciones para la convergencia
Una sucesión converge hacia un límite si, dado cualquier ε > 0, existe un número natural N tal que para todo n ≥ N, la distancia entre a_n y L es menor que ε
Límites infinitos
Las sucesiones pueden tender hacia límites infinitos positivos o negativos
Divergencia y oscilación
Una sucesión puede ser divergente o no tener límite
Acotación y monotonía
Las sucesiones pueden ser acotadas y monótonas o no acotadas y no monótonas
Las sucesiones convergentes son únicas y de Cauchy
Sucesiones de Cauchy
Las sucesiones de Cauchy son necesariamente acotadas y, si además son monótonas, entonces son convergentes
Álgebra de límites
El álgebra de límites facilita el cálculo de límites en combinaciones de sucesiones convergentes
La combinación de sucesiones convergentes y divergentes resulta en comportamientos específicos
Existen reglas para anticipar el comportamiento de sucesiones complejas sin necesidad de realizar cálculos exhaustivos
La resolución de indeterminaciones es un método para calcular límites en sucesiones que no se pueden determinar directamente con el álgebra de límites
Criterio de Stolz
El Criterio de Stolz es útil para sucesiones en forma de cociente con denominadores monótonos y divergentes
Regla del Sandwich
La Regla del Sandwich se aplica cuando una sucesión puede ser acotada entre dos sucesiones con el mismo límite conocido
Uso de infinitésimos o infinitos equivalentes
El uso de infinitésimos o infinitos equivalentes simplifica el cálculo de límites al sustituir términos complejos por otros más simples con comportamiento asintótico similar
00
Una ______ de números reales asocia a cada número natural con un número real, y se representa como {a_n}.
sucesión
01
Una sucesión {a_n} ______ hacia un límite L si para cualquier ε > 0, hay un N tal que para todo n ≥ N, |a_n - L| < ε.
converge
02
Una sucesión es ______ si tiene un límite finito, como la sucesión {1/n} que ______ a 0.
convergente
converge
