Sistemi di Numerazione
Mappa concettuale
I sistemi di numerazione come il decimale, binario ed esadecimale sono essenziali per la matematica e l'informatica. Questi sistemi permettono di rappresentare e manipolare i numeri in vari formati, facilitando le operazioni nei computer e la comprensione dei dati. La conversione tra questi sistemi e le operazioni come l'addizione e la moltiplicazione seguono regole specifiche basate sulla base numerica utilizzata.
Riassunto
Schema
Fondamenti del Sistema di Numerazione Decimale
Il sistema di numerazione decimale è un metodo posizionale che si basa sulla base 10 per rappresentare i numeri. Utilizza dieci simboli o cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Il valore di ogni cifra in un numero è determinato dalla sua posizione, o "peso", che è dato dalla base (10) elevata alla potenza corrispondente alla posizione della cifra, partendo da zero per la cifra più a destra. Pertanto, il valore di un numero decimale è la somma dei prodotti delle cifre per i loro pesi posizionali.Principi della Numerazione Binaria e Utilizzo nei Computer
I computer utilizzano il sistema binario, una forma di numerazione posizionale in base 2, che impiega solo due cifre: 0 e 1. Questo sistema è fondamentale per il funzionamento dei computer poiché i circuiti elettronici possono facilmente gestire due stati distinti, rappresentati da queste due cifre. Un numero binario è una sequenza di 0 e 1, e l'uso di cifre diverse da queste non è compatibile con il sistema binario. Ad esempio, "10101010011" è un numero binario valido, mentre "2038" non lo è.Conversione da Binario a Decimale
La conversione di un numero binario in decimale si realizza sommando i prodotti delle cifre binarie per le potenze di 2 corrispondenti alla loro posizione nel numero, partendo da zero per la cifra più a destra. Questo processo permette di calcolare il valore decimale equivalente di una sequenza binaria, trasformando ogni cifra binaria in un valore decimale basato sulla sua posizione e sul valore della potenza di 2 associata.Conversione da Decimale a Binario
Per convertire un numero decimale in binario, si procede con una serie di divisioni per due, annotando il resto di ciascuna divisione. Questi resti corrispondono alle cifre binarie del numero, partendo dalla cifra meno significativa fino a quella più significativa. Il processo continua fino a che il quoziente non è zero. Le cifre binarie ottenute vengono poi lette in ordine inverso per ottenere il numero binario equivalente.Operazioni con Numeri Binari
Le operazioni con i numeri binari, come l'addizione, seguono regole simili a quelle del sistema decimale, ma adattate alla base 2. Nell'addizione binaria, si sommano le cifre corrispondenti e si gestisce il riporto quando la somma supera 1. Altre operazioni includono il complemento a 1, che inverte ogni cifra binaria, e il complemento a 2, ottenuto aggiungendo 1 al complemento a 1. La moltiplicazione binaria segue regole simili, con la particolarità che moltiplicare per 10 (binario) equivale a spostare tutte le cifre di una posizione verso sinistra, inserendo uno zero in coda.Rappresentazione dei Numeri Interi Binari Negativi
I numeri interi negativi in binario possono essere rappresentati in diversi modi. La rappresentazione con segno e modulo utilizza il bit più significativo per indicare il segno, ma presenta il problema della doppia rappresentazione dello zero. Il metodo dell'offset aggiunge un valore costante al numero binario, ma non è pratico nei sistemi reali. Il metodo più diffuso è il complemento a 2, che rappresenta i numeri positivi normalmente e i negativi attraverso il loro complemento a 2. Questo sistema consente di rappresentare numeri nell'intervallo da -128 a +127 con un byte, senza la doppia rappresentazione dello zero.Numerazione Esadecimale e Somma Esadecimale
Il sistema esadecimale utilizza una base 16 e comprende 16 cifre: 0-9 e A-F, dove A corrisponde al valore decimale 10 e F a 15. È utile per rappresentare numeri binari in modo compatto, poiché ogni cifra esadecimale equivale a quattro bit binari. La conversione da esadecimale a decimale si effettua moltiplicando ogni cifra per 16 elevato alla posizione della cifra. La somma esadecimale segue regole simili a quelle del sistema decimale, con l'aggiunta che se la somma supera 15, si procede con il calcolo del quoziente e del resto per determinare la cifra risultante e il riporto.
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Sistema di Numerazione Decimale
Base 10 e cifre
Il sistema di numerazione decimale utilizza la base 10 e le cifre da 0 a 9 per rappresentare i numeri
Peso posizionale
Il valore di ogni cifra in un numero decimale è determinato dalla sua posizione, o "peso", che è dato dalla base (10) elevata alla potenza corrispondente alla posizione della cifra
Conversione da binario a decimale
Per convertire un numero binario in decimale, si sommano i prodotti delle cifre binarie per le potenze di 2 corrispondenti alla loro posizione nel numero
Sistema Binario
Base 2 e cifre
Il sistema binario utilizza la base 2 e le cifre 0 e 1 per rappresentare i numeri
Utilizzo nei computer
I computer utilizzano il sistema binario poiché i circuiti elettronici possono gestire facilmente due stati distinti rappresentati dalle cifre 0 e 1
Operazioni con numeri binari
Le operazioni con i numeri binari, come l'addizione e la moltiplicazione, seguono regole simili a quelle del sistema decimale, ma adattate alla base 2
Rappresentazione dei numeri interi binari negativi
Metodi di rappresentazione
I numeri interi negativi in binario possono essere rappresentati con diversi metodi, come il complemento a 2, il metodo dell'offset e la rappresentazione con segno e modulo
Complemento a 2
Il complemento a 2 rappresenta i numeri positivi normalmente e i negativi attraverso il loro complemento a 2, senza la doppia rappresentazione dello zero
Intervallo di rappresentazione
Con il complemento a 2, è possibile rappresentare numeri nell'intervallo da -128 a +127 con un byte
Numerazione Esadecimale
Base 16 e cifre
Il sistema esadecimale utilizza la base 16 e comprende 16 cifre: 0-9 e A-F
Utilità per la rappresentazione di numeri binari
L'esadecimale è utile per rappresentare numeri binari in modo compatto, poiché ogni cifra esadecimale equivale a quattro bit binari
Conversione da esadecimale a decimale
Per convertire un numero esadecimale in decimale, si moltiplica ogni cifra per 16 elevato alla posizione della cifra
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00
Il valore di ogni cifra in un numero è determinato dalla sua ______, che è data dalla base elevata alla ______ corrispondente.
posizione
potenza
01
Il sistema decimale utilizza ______ simboli o cifre, che vanno da _ a _.
dieci
0
9
02
Nel sistema decimale, la cifra più a destra ha un 'peso' che parte da ______.
zero
