Definición y Tipos de Variables Aleatorias

En el ámbito de la probabilidad y estadística, una variable aleatoria se define como una función que asocia un número real a cada posible resultado de un experimento aleatorio, cuyo conjunto de todos los resultados posibles se denomina espacio muestral (Ω). El rango de una variable aleatoria, es decir, el conjunto de valores que puede tomar, se representa con R_X. Las variables aleatorias se dividen en dos categorías principales: discretas y continuas. Una variable aleatoria discreta (VAD) adopta valores que forman un conjunto finito o contablemente infinito, lo que permite enumerar sus valores de forma secuencial. En contraste, una variable aleatoria continua (VAC) puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo o conjunto de intervalos, abarcando un espectro incontable de posibilidades dentro de los números reales.

Funciones de Probabilidad y Distribución

Las funciones de probabilidad y distribución son herramientas fundamentales en el estudio de las variables aleatorias, ya que describen cómo se distribuyen los valores que estas pueden tomar. Para las variables aleatorias discretas, la función de probabilidad, también conocida como función de masa de probabilidad (fmp), asigna una probabilidad a cada uno de los posibles valores discretos. Por otro lado, las variables aleatorias continuas se caracterizan mediante la función de densidad de probabilidad (fdp), que, a pesar de no proporcionar probabilidades directas para valores específicos, permite calcular la probabilidad de que la variable caiga dentro de un intervalo dado mediante la integración de la función de densidad sobre ese intervalo. Además, tanto para variables discretas como continuas, la función de distribución acumulativa (FDA) indica la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual a un valor específico, siendo una herramienta clave para el análisis probabilístico.