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Le equazioni di secondo grado sono fondamentali in matematica per risolvere problemi vari. Caratterizzate da una forma ax^2 + bx + c = 0, possono essere complete o incomplete. Le loro soluzioni, determinate dal discriminante Δ, possono essere reali o complesse e hanno una rappresentazione grafica come parabola nel piano cartesiano. La somma e il prodotto delle radici offrono relazioni utili per la verifica delle soluzioni.
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Un'equazione polinomiale con l'incognita al massimo al quadrato
La forma standard di un'equazione di secondo grado, con coefficienti reali e a ≠ 0
I coefficienti a, b e c e il loro ruolo nell'equazione
Le equazioni di secondo grado si distinguono in complete (con tutti i coefficienti non nulli) e incomplete (con uno o più coefficienti nulli)
Spuria, pura e monomia
Le equazioni possono essere spurie (c = 0 e b ≠ 0), pure (b = 0 e c ≠ 0) o monomie (b = c = 0)
Normalizzazione
La normalizzazione di un'equazione di secondo grado si ottiene dividendo tutti i termini per il coefficiente direttivo a
Le soluzioni di un'equazione di secondo grado sono i valori di x che rendono vera l'equazione
Reali e complesse
Le soluzioni possono essere reali (nel campo dei numeri reali) o complesse (nel campo dei numeri complessi)
Distinte e doppie
Le soluzioni possono essere distinte (due soluzioni reali diverse) o doppie (una soluzione reale con molteplicità due)
La formula per trovare le soluzioni di un'equazione di secondo grado è x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), dove Δ = b^2 - 4ac è il discriminante
La formula ridotta si ottiene dividendo il numeratore e il denominatore per 2, mentre il discriminante è determinante per il numero e la tipologia delle soluzioni
Un'equazione di secondo grado rappresenta una parabola nel piano cartesiano
L'asse di simmetria è la retta x = -b/(2a) e il vertice si trova nel punto V(-b/(2a), -Δ/(4a))
Le soluzioni dell'equazione corrispondono ai punti di intersezione della parabola con l'asse x
La concavità della parabola è rivolta verso l'alto se a > 0 e verso il basso se a < 0
Le relazioni tra le radici e i coefficienti sono espresse dalle regole della somma (x1 + x2 = -b/a) e del prodotto (x1 * x2 = c/a)
Le regole sono utili per verificare la correttezza delle soluzioni e per scomporre un trinomio di secondo grado
00
Condizione su 'a' in un'equazione di secondo grado
'a' deve essere diverso da zero per definire un'equazione di secondo grado.
01
Equazione monica
Un'equazione di secondo grado con 'a' uguale a 1.
02
Normalizzazione di un'equazione
Si divide ogni termine dell'equazione per 'a' se questo è diverso da 1.
