Fondamenti di Equazioni e Disequazioni

Fondamenti di Equazioni e Disequazioni

Le equazioni sono uguaglianze matematiche che coinvolgono una o più variabili, e il loro scopo è trovare i valori per queste variabili che rendano l'uguaglianza vera. Le disequazioni, invece, esprimono una relazione di disuguaglianza tra due espressioni e si risolvono individuando i valori delle variabili che soddisfano tale relazione. In entrambi i casi, l'espressione a sinistra del segno di uguaglianza o disuguaglianza è chiamata primo membro, mentre quella a destra è il secondo membro. È fondamentale sapere che è possibile sommare o sottrarre lo stesso numero o espressione ad entrambi i membri senza alterare la validità dell'equazione o della disequazione, una procedura nota come "proprietà dell'annullamento". Per le equazioni, è anche lecito moltiplicare o dividere entrambi i membri per uno stesso numero non nullo, mantenendo invariata l'equazione. Nelle disequazioni, la moltiplicazione o la divisione per un numero negativo comporta l'inversione del segno di disuguaglianza, un passaggio cruciale per mantenere la correttezza della relazione.

Equazioni e Disequazioni di Primo e Secondo Grado

Le equazioni di primo grado, o lineari, sono quelle in cui la variabile appare con esponente uno e non al denominatore. Per risolverle, si isolano i termini con la variabile su un membro e i termini noti sull'altro, e poi si divide per il coefficiente della variabile. Le disequazioni lineari si risolvono con un procedimento analogo, prestando attenzione a invertire il segno della disuguaglianza se si moltiplica o divide per un numero negativo. Le equazioni di secondo grado hanno la forma generale ax^2 + bx + c = 0 e si risolvono utilizzando il discriminante Δ, calcolato come b^2 - 4ac. Se Δ è negativo, l'equazione non ha soluzioni reali; se Δ è zero o positivo, le soluzioni sono date dalla formula x = (-b ± √Δ) / (2a). Le disequazioni di secondo grado si analizzano studiando il segno di Δ e di a, e si determinano gli intervalli di soluzione considerando la parabola associata all'equazione di secondo grado.

Equazioni e Disequazioni Fratte

Le equazioni fratte includono la variabile anche al denominatore. La risoluzione inizia con la determinazione del Campo di Esistenza (C.E.), che esclude i valori per cui i denominatori si annullano. Dopo aver ridotto le espressioni al minimo comune denominatore e aver eliminato i denominatori, si procede alla risoluzione dell'equazione risultante, confrontando poi le soluzioni con il C.E. Le disequazioni fratte richiedono un'analisi del segno di numeratore e denominatore, mantenendo il denominatore. Si risolvono due disequazioni separate e si costruisce un grafico dei segni per individuare gli intervalli di soluzione, escludendo i valori non ammessi dal C.E. e includendo i valori che rendono nullo il numeratore solo se il segno della disequazione include l'uguaglianza (≤ o ≥).

Sistemi di Equazioni e Disequazioni

I sistemi di equazioni sono insiemi di due o più equazioni con più variabili che devono essere soddisfatte simultaneamente. Il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi delle singole equazioni. Per risolvere sistemi di due equazioni lineari in due incognite, si possono adottare metodi come quello di sostituzione, di riduzione o del confronto. Nel metodo di sostituzione, si esprime una variabile in termini dell'altra in una delle equazioni e si sostituisce nell'altra equazione. I sistemi di disequazioni si risolvono trattando separatamente ciascuna disequazione e rappresentando le soluzioni su un grafico. La soluzione del sistema è l'insieme dei valori che soddisfano tutte le disequazioni contemporaneamente, ovvero l'intersezione degli intervalli di soluzione di ciascuna disequazione.