Fondamenti di Equazioni e Disequazioni
Mappa concettuale
Le equazioni e disequazioni sono strumenti fondamentali in matematica per risolvere problemi che includono variabili. Le equazioni lineari e di secondo grado seguono regole specifiche per la loro risoluzione, utilizzando metodi come il calcolo del discriminante. Le disequazioni richiedono attenzione ai segni e ai valori critici. Anche le equazioni fratte e i sistemi di equazioni hanno procedure di risoluzione che permettono di trovare le soluzioni ammissibili.
Riassunto
Schema
Fondamenti di Equazioni e Disequazioni
Le equazioni sono uguaglianze matematiche che coinvolgono una o più variabili, e il loro scopo è trovare i valori per queste variabili che rendano l'uguaglianza vera. Le disequazioni, invece, esprimono una relazione di disuguaglianza tra due espressioni e si risolvono individuando i valori delle variabili che soddisfano tale relazione. In entrambi i casi, l'espressione a sinistra del segno di uguaglianza o disuguaglianza è chiamata primo membro, mentre quella a destra è il secondo membro. È fondamentale sapere che è possibile sommare o sottrarre lo stesso numero o espressione ad entrambi i membri senza alterare la validità dell'equazione o della disequazione, una procedura nota come "proprietà dell'annullamento". Per le equazioni, è anche lecito moltiplicare o dividere entrambi i membri per uno stesso numero non nullo, mantenendo invariata l'equazione. Nelle disequazioni, la moltiplicazione o la divisione per un numero negativo comporta l'inversione del segno di disuguaglianza, un passaggio cruciale per mantenere la correttezza della relazione.Equazioni e Disequazioni di Primo e Secondo Grado
Le equazioni di primo grado, o lineari, sono quelle in cui la variabile appare con esponente uno e non al denominatore. Per risolverle, si isolano i termini con la variabile su un membro e i termini noti sull'altro, e poi si divide per il coefficiente della variabile. Le disequazioni lineari si risolvono con un procedimento analogo, prestando attenzione a invertire il segno della disuguaglianza se si moltiplica o divide per un numero negativo. Le equazioni di secondo grado hanno la forma generale ax^2 + bx + c = 0 e si risolvono utilizzando il discriminante Δ, calcolato come b^2 - 4ac. Se Δ è negativo, l'equazione non ha soluzioni reali; se Δ è zero o positivo, le soluzioni sono date dalla formula x = (-b ± √Δ) / (2a). Le disequazioni di secondo grado si analizzano studiando il segno di Δ e di a, e si determinano gli intervalli di soluzione considerando la parabola associata all'equazione di secondo grado.Equazioni e Disequazioni Fratte
Le equazioni fratte includono la variabile anche al denominatore. La risoluzione inizia con la determinazione del Campo di Esistenza (C.E.), che esclude i valori per cui i denominatori si annullano. Dopo aver ridotto le espressioni al minimo comune denominatore e aver eliminato i denominatori, si procede alla risoluzione dell'equazione risultante, confrontando poi le soluzioni con il C.E. Le disequazioni fratte richiedono un'analisi del segno di numeratore e denominatore, mantenendo il denominatore. Si risolvono due disequazioni separate e si costruisce un grafico dei segni per individuare gli intervalli di soluzione, escludendo i valori non ammessi dal C.E. e includendo i valori che rendono nullo il numeratore solo se il segno della disequazione include l'uguaglianza (≤ o ≥).Sistemi di Equazioni e Disequazioni
I sistemi di equazioni sono insiemi di due o più equazioni con più variabili che devono essere soddisfatte simultaneamente. Il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi delle singole equazioni. Per risolvere sistemi di due equazioni lineari in due incognite, si possono adottare metodi come quello di sostituzione, di riduzione o del confronto. Nel metodo di sostituzione, si esprime una variabile in termini dell'altra in una delle equazioni e si sostituisce nell'altra equazione. I sistemi di disequazioni si risolvono trattando separatamente ciascuna disequazione e rappresentando le soluzioni su un grafico. La soluzione del sistema è l'insieme dei valori che soddisfano tutte le disequazioni contemporaneamente, ovvero l'intersezione degli intervalli di soluzione di ciascuna disequazione.
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Equazioni e Disequazioni
Equazioni
Definizione di equazione
Un'uguaglianza matematica che coinvolge una o più variabili e il cui scopo è trovare i valori che rendano l'uguaglianza vera
Proprietà dell'annullamento
La possibilità di sommare o sottrarre lo stesso numero o espressione ad entrambi i membri di un'equazione senza alterarne la validità
Equazioni di primo e secondo grado
Equazioni in cui la variabile appare con esponente uno e non al denominatore (primo grado) o con esponente due (secondo grado)
Disequazioni
Definizione di disequazione
Una relazione di disuguaglianza tra due espressioni che si risolve individuando i valori delle variabili che soddisfano tale relazione
Proprietà dell'annullamento nelle disequazioni
La possibilità di sommare o sottrarre lo stesso numero o espressione ad entrambi i membri di una disequazione senza alterarne la validità, ma con l'importante accorgimento di invertire il segno di disuguaglianza se si moltiplica o divide per un numero negativo
Disequazioni di primo e secondo grado
Disequazioni in cui la variabile appare con esponente uno e non al denominatore (primo grado) o con esponente due (secondo grado)
Equazioni e Disequazioni di Primo e Secondo Grado
Equazioni di primo grado
Definizione di equazione di primo grado
Un'equazione in cui la variabile appare con esponente uno e non al denominatore
Risoluzione delle equazioni di primo grado
Procedimento per isolare i termini con la variabile su un membro e i termini noti sull'altro e poi dividere per il coefficiente della variabile
Disequazioni di primo grado
Disequazioni in cui la variabile appare con esponente uno e non al denominatore
Equazioni di secondo grado
Definizione di equazione di secondo grado
Un'equazione nella forma ax^2 + bx + c = 0, in cui la variabile ha esponente due
Risoluzione delle equazioni di secondo grado
Utilizzo del discriminante Δ per determinare le soluzioni, che possono essere reali o non reali a seconda del valore di Δ
Disequazioni di secondo grado
Disequazioni in cui la variabile appare con esponente due e si analizzano gli intervalli di soluzione considerando la parabola associata all'equazione di secondo grado
Equazioni e Disequazioni Fratte
Equazioni fratte
Definizione di equazione fratta
Un'equazione in cui la variabile appare anche al denominatore
Risoluzione delle equazioni fratte
Determinazione del Campo di Esistenza (C.E.), riduzione al minimo comune denominatore e risoluzione dell'equazione risultante
Disequazioni fratte
Analisi del segno di numeratore e denominatore e costruzione di un grafico dei segni per determinare gli intervalli di soluzione
Sistemi di Equazioni e Disequazioni
Sistemi di equazioni
Definizione di sistema di equazioni
Insieme di due o più equazioni con più variabili che devono essere soddisfatte simultaneamente
Risoluzione di sistemi di equazioni lineari in due incognite
Utilizzo di metodi come quello di sostituzione, di riduzione o del confronto
Sistemi di disequazioni
Risoluzione trattando separatamente ciascuna disequazione e rappresentando le soluzioni su un grafico
Fondamenti di Equazioni e Disequazioni
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Definizione di equazione
Uguaglianza matematica con una o più variabili, da risolvere per trovare valori che la rendano vera.
01
Definizione di disequazione
Relazione di disuguaglianza tra due espressioni, si risolve individuando valori delle variabili che la soddisfano.
02
Primo e secondo membro
Espressioni rispettivamente a sinistra e a destra del segno di uguaglianza o disuguaglianza.
