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La somma e l'intersezione di sottospazi vettoriali sono concetti chiave in algebra lineare. Questa guida esplora metodi per determinare dimensioni e basi, con esempi pratici e l'applicazione della formula di Grassmann per comprendere le relazioni tra le dimensioni dei sottospazi.
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La somma di due sottospazi è l'insieme dei vettori che possono essere scritti come somma di un vettore di uno dei sottospazi e un vettore dell'altro
Sottospazi definiti da sistemi di generatori
Unire i generatori dei due sottospazi e ridurre l'insieme risultante a una base
Sottospazi definiti da equazioni cartesiane
Risolvere un sistema lineare combinando le equazioni dei due sottospazi e unire le basi per ottenere un sistema di generatori
Utilizzare i metodi teorici per calcolare la dimensione e la base della somma in casi pratici
L'intersezione di due sottospazi è l'insieme dei vettori che appartengono sia al primo che al secondo sottospazio
Sottospazi definiti da sistemi di generatori
Trovare un sottoinsieme di vettori che possono essere espressi come combinazioni lineari dei generatori dei due sottospazi
Sottospazi definiti da equazioni cartesiane
Costruire un sistema lineare omogeneo combinando le equazioni dei due sottospazi e determinare una base per lo spazio delle soluzioni
Utilizzare un processo simile a quello per i sottospazi vettoriali per determinare la dimensione e la base della somma e dell'intersezione di sottospazi di polinomi o matrici
La formula di Grassmann fornisce un metodo per calcolare la dimensione della somma di due sottospazi in termini delle loro dimensioni individuali e della dimensione della loro intersezione
Utilizzare la formula di Grassmann per verificare i calcoli effettuati e comprendere la relazione tra le dimensioni dei sottospazi
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Definizione di intersezione di sottospazi
Insieme di vettori comuni a due sottospazi S e T.
01
Simbolo intersezione sottospazi
S ∩ T rappresenta l'intersezione tra i sottospazi S e T.
02
Teorema di caratterizzazione dei sottospazi
Un sottospazio deve essere chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione per scalari.
