Definizione e Rappresentazione dei Sistemi di Equazioni Lineari

Un sistema di equazioni lineari consiste in un insieme di equazioni lineari che condividono un insieme comune di variabili, dette incognite. Un sistema lineare di m equazioni a n incognite si presenta come una collezione di m relazioni algebriche che coinvolgono n variabili, tipicamente indicate con \(x_1, x_2, \ldots, x_n\). Ciascuna equazione del sistema ha la forma generale \(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\), dove \(a_{ij}\) rappresenta i coefficienti numerici reali associati alle incognite, e \(b_1, \ldots, b_m\) sono i termini noti, anch'essi numeri reali. La rappresentazione matriciale di un sistema lineare è particolarmente utile per la sua risoluzione e analisi: si utilizza la matrice dei coefficienti A, la matrice colonna X che contiene le incognite, e la matrice colonna B per i termini noti. In questo modo, il sistema può essere espresso in forma matriciale compatta come AX = B. La matrice A è definita come la matrice dei coefficienti o matrice incompleta del sistema, mentre la matrice estesa con l'aggiunta della colonna dei termini noti è nota come matrice completa o matrice ampliata del sistema, indicata spesso con A'.

Classificazione e Soluzioni dei Sistemi Lineari

I sistemi di equazioni lineari possono essere classificati in base al numero di soluzioni che possiedono. Un sistema è definito come determinato se ammette una sola soluzione unica, indeterminato se presenta infinite soluzioni, e impossibile se non ha soluzioni. La soluzione di un sistema lineare può essere trovata attraverso vari metodi algebrici, come il metodo di sostituzione, il metodo di eliminazione o il metodo grafico. Inoltre, strumenti matriciali come il calcolo della matrice inversa o l'applicazione del metodo di eliminazione di Gauss (o Gauss-Jordan) sono fondamentali per determinare la solubilità del sistema e per trovare le soluzioni esatte. La condizione di esistenza e unicità della soluzione è legata al concetto di rango della matrice dei coefficienti: un sistema è determinato se il rango della matrice incompleta A è uguale al rango della matrice completa A' e coincide con il numero di incognite n. Se il rango è minore del numero di incognite, il sistema è indeterminato, mentre se il rango della matrice incompleta è minore del rango della matrice completa, il sistema è impossibile.