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La Risoluzione delle Disequazioni di Secondo Grado e le Proprietà delle Parabole

Le disequazioni di secondo grado e le parabole sono fondamentali in matematica per l'analisi di funzioni e l'ottimizzazione. Imparare a risolvere disequazioni e a comprendere le caratteristiche grafiche delle parabole permette di affrontare problemi di massimo e minimo, con applicazioni pratiche in vari campi come l'economia.

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1

Moltiplicazione per -1 in disequazioni

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Se coefficiente termine quadratico negativo, moltiplica disequazione per -1 e inverte segno disuguaglianza.

2

Calcolo del discriminante

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Δ = b^2 - 4ac, determina natura radici equazione associata ax^2 + bx + c = 0.

3

Segno trinomio da radici

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Se Δ > 0 e radici reali/distinte, trinomio positivo per x < radice minore e x > radice maggiore.

4

La ______ è la rappresentazione grafica della funzione ______ y = ax^2 + bx + c, dove a è diverso da zero.

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parabola quadratica

5

Il fuoco della parabola è in F(______, ______) e la direttrice è la retta y = ______.

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-b/2a c - Δ/4a c - Δ/4a

6

La parabola taglia l'asse delle ordinate nel punto (0, ______) e la concavità è rivolta verso l'alto se a è maggiore di zero.

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c

7

Se a è minore di zero, la concavità della parabola è rivolta verso il ______.

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basso

8

Funzione quadratica R(x) per ricavo

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R(x) = (600 - 30x)(200 + 20x) modella ricavo in funzione degli iscritti.

9

Vertice della parabola per massimizzare ricavo

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Vertice a x = 5 indica numero iscritti ottimale per massimo ricavo.

10

Prezzo per partecipante al vertice

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Al vertice, prezzo per partecipante è 450 euro, corrisponde a ricavo massimo.

11

Il punto chiamato ______ di una parabola si trova esattamente a metà tra il ______ e la ______.

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vertice fuoco direttrice

12

Δ > 0: segno trinomio

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Il trinomio cambia segno passando per le radici, con intervallo di negatività tra di esse.

13

Δ = 0: comportamento trinomio

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Il trinomio è sempre non negativo e nullo solo per x uguale alla radice doppia.

14

Δ < 0: segno trinomio

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Il trinomio non cambia segno, è sempre positivo o negativo a seconda del segno di a.

15

Se il coefficiente ______ è uguale a zero, l'asse di simmetria di una parabola coincide con l'asse delle ordinate.

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b

16

Il valore assoluto del coefficiente ______ influenza quanto sia ampia o stretta la parabola.

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a

17

Il termine noto ______, nell'equazione di una parabola, corrisponde al punto in cui la parabola intercetta l'asse delle ordinate.

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c

18

Comprendere il ruolo dei coefficienti ______, ______ e ______ è essenziale per analizzare le parabole e formulare equazioni paraboliche.

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a b c

Q&A

Ecco un elenco delle domande più frequenti su questo argomento

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La Risoluzione delle Disequazioni di Secondo Grado

Per risolvere una disequazione di secondo grado, è necessario adottare un metodo sistematico. Se il coefficiente del termine quadratico è negativo, si moltiplica l'intera disequazione per -1, invertendo il segno della disuguaglianza. Si procede poi al calcolo del discriminante (Δ = b^2 - 4ac) e delle eventuali radici dell'equazione associata ax^2 + bx + c = 0. Questo permette di stabilire il segno del trinomio nei vari intervalli definiti dalle radici. Ad esempio, nella disequazione x^2 + x - 2 > 0, il discriminante è positivo e le radici sono reali e distinte; di conseguenza, il trinomio assume valori positivi per x minori della radice minore e per x maggiori della radice maggiore.
Laboratorio scientifico con modello tridimensionale di parabola trasparente, strumenti di misura metallici e microscopio nero su tavolo chiaro.

Caratteristiche Grafiche e Proprietà delle Parabole

La parabola, rappresentazione grafica della funzione quadratica y = ax^2 + bx + c (con a ≠ 0), ha caratteristiche distintive. Il vertice si trova nel punto V(-b/2a, -Δ/4a), e l'asse di simmetria è la retta verticale x = -b/2a. Il fuoco si posiziona in F(-b/2a, c - Δ/4a) e la direttrice è la retta orizzontale y = c - Δ/4a. La parabola interseca l'asse delle ordinate nel punto (0, c) e, se esistono, le ascisse dei punti di intersezione con l'asse delle ascisse sono le radici dell'equazione associata. La concavità della parabola è verso l'alto se a > 0 e verso il basso se a < 0.

Applicazioni delle Parabole nei Problemi di Massimo e Minimo

Le parabole sono strumenti efficaci per risolvere problemi di ottimizzazione, come la ricerca di valori massimi o minimi. Ad esempio, nel problema di massimizzare il ricavo di un corso di informatica, si può utilizzare la funzione quadratica R(x) = (600 - 30x)(200 + 20x) per modellare il ricavo in funzione del numero di iscritti x. Il vertice della parabola corrispondente indica il numero di iscritti che massimizza il ricavo. In questo caso, il vertice si trova a x = 5, che corrisponde a un prezzo per partecipante di 450 euro, massimizzando così il ricavo totale.

La Parabola come Luogo Geometrico

La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso, il fuoco, e da una retta fissa, la direttrice. L'asse della parabola è la retta perpendicolare alla direttrice che passa per il fuoco e funge da asse di simmetria. Il vertice della parabola è il punto sull'asse che si trova a metà strada tra il fuoco e la direttrice. Questa definizione geometrica fornisce una comprensione profonda della forma e delle proprietà delle parabole.

Studio del Segno di un Trinomio di Secondo Grado

Lo studio del segno di un trinomio di secondo grado è cruciale per la soluzione delle disequazioni quadratiche. A seconda del valore del discriminante Δ, si hanno tre scenari: se Δ > 0, il trinomio cambia segno passando attraverso le radici e si ha un intervallo di negatività compreso tra esse; se Δ = 0, il trinomio è non negativo per ogni x e nullo solo per x uguale alla radice doppia; se Δ < 0, il trinomio non cambia segno e mantiene la positività o la negatività a seconda del segno di a. La rappresentazione grafica della parabola fornisce una visualizzazione immediata di questi casi.

I Legami tra i Coefficienti di una Parabola e il suo Grafico

I coefficienti a, b e c di una parabola determinano le caratteristiche del suo grafico. Il segno di a indica la concavità (verso l'alto se positivo, verso il basso se negativo), mentre il suo valore assoluto influenza l'ampiezza della parabola. Il coefficiente b incide sulla posizione dell'asse di simmetria, che coincide con l'asse delle ordinate se b = 0. Il termine noto c rappresenta l'intercetta con l'asse delle ordinate. La comprensione di queste relazioni è fondamentale per analizzare il comportamento delle parabole e per risolvere problemi che richiedono la formulazione di equazioni paraboliche che soddisfino condizioni specifiche.