Algebra e calcolo letterale
Mappa concettuale
Il calcolo letterale, fondamentale in algebra, include la moltiplicazione di monomi e polinomi, l'elevazione a potenza e le operazioni di addizione e sottrazione. Scopri come gestire coefficienti, variabili e gradi per manipolare espressioni algebriche complesse.
Riassunto
Schema
Operazioni Fondamentali con Monomi e Polinomi
Il calcolo letterale è una sezione dell'algebra che si occupa di espressioni contenenti variabili rappresentate da lettere. Tra le operazioni fondamentali vi è la moltiplicazione di monomi, che sono espressioni composte da un coefficiente numerico e una o più variabili ciascuna elevata a un esponente intero non negativo. Per moltiplicare due monomi, si moltiplicano i rispettivi coefficienti e si applica la proprietà delle potenze per le variabili con la stessa base, sommando gli esponenti. Ad esempio, moltiplicando -5ab^2c per -2a^3b, si ottiene 10a^4b^3c, sfruttando le proprietà commutativa, associativa della moltiplicazione e la legge delle potenze per basi uguali.Potenze di Monomi e Loro Proprietà
Elevare un monomio a una potenza significa moltiplicare il monomio per se stesso per il numero di volte indicato dall'esponente. Ad esempio, (-2ab^2)^3 si calcola come -2ab^2 * -2ab^2 * -2ab^2, che dà -8a^3b^6. Questo risultato si può ottenere più efficacemente applicando la proprietà che afferma che la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori, quindi (-2)^3 * a^3 * (b^2)^3 = -8a^3b^6. In generale, un monomio elevato alla n-esima potenza avrà un coefficiente che è la potenza n-esima del coefficiente originale e le variabili saranno elevate alla potenza data dall'esponente originale moltiplicato per n.Struttura e Grado dei Polinomi
Un polinomio è un'espressione algebrica costituita dalla somma di monomi non simili, detti termini. I polinomi sono classificati in base al numero di termini: un binomio contiene due termini, un trinomio tre, e così via. Il grado di un polinomio in una variabile è l'esponente più alto di quella variabile nei suoi termini. Il grado complessivo di un polinomio è il grado del termine di grado più alto. Un polinomio si dice omogeneo se tutti i termini hanno lo stesso grado totale. Un polinomio è ordinato se i suoi termini sono disposti secondo gli esponenti di una variabile specifica, in ordine crescente o decrescente. Un polinomio è completo rispetto a una variabile se contiene tutti i gradi da zero fino al grado massimo; se mancano alcuni gradi, è detto incompleto.Addizione e Sottrazione di Polinomi
Per addizionare polinomi, si allineano i termini simili e si sommano i loro coefficienti. La sottrazione di polinomi si effettua aggiungendo al primo polinomio l'opposto del secondo, ovvero cambiando il segno di ogni termine del polinomio da sottrarre, e poi sommando i termini simili. Queste operazioni sono esempi di addizione algebrica e il risultato è un polinomio che rappresenta la somma algebrica dei polinomi originali.Moltiplicazione di Polinomi
La moltiplicazione di un monomio per un polinomio si effettua applicando la proprietà distributiva: ogni termine del polinomio viene moltiplicato per il monomio e i prodotti ottenuti vengono sommati. Per moltiplicare due polinomi, si moltiplica ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo, e poi si sommano i termini simili. Questo processo, che può essere esteso alla moltiplicazione di più polinomi, produce un nuovo polinomio che deve essere semplificato combinando i termini simili.
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Monomi
Moltiplicazione di monomi
Per moltiplicare due monomi si moltiplicano i coefficienti e si applica la proprietà delle potenze per le variabili con la stessa base, sommando gli esponenti
Elevazione di un monomio a una potenza
Per elevare un monomio a una potenza si moltiplica il monomio per se stesso per il numero di volte indicato dall'esponente
Proprietà dei monomi elevati a una potenza
Un monomio elevato alla n-esima potenza avrà un coefficiente che è la potenza n-esima del coefficiente originale e le variabili saranno elevate alla potenza data dall'esponente originale moltiplicato per n
Polinomi
Definizione di polinomio
Un polinomio è un'espressione algebrica costituita dalla somma di monomi non simili
Classificazione dei polinomi
I polinomi sono classificati in base al numero di termini: un binomio contiene due termini, un trinomio tre, e così via
Grado di un polinomio
Il grado di un polinomio in una variabile è l'esponente più alto di quella variabile nei suoi termini, mentre il grado complessivo è il grado del termine di grado più alto
Proprietà dei polinomi
Un polinomio si dice omogeneo se tutti i termini hanno lo stesso grado totale, ordinato se i suoi termini sono disposti secondo gli esponenti di una variabile specifica, e completo se contiene tutti i gradi da zero fino al grado massimo
Operazioni con polinomi
Addizione e sottrazione di polinomi
Per addizionare polinomi si allineano i termini simili e si sommano i loro coefficienti, mentre per sottrarre si aggiunge al primo polinomio l'opposto del secondo
Moltiplicazione di un monomio per un polinomio
La moltiplicazione di un monomio per un polinomio si effettua applicando la proprietà distributiva
Moltiplicazione di polinomi
Per moltiplicare due polinomi si moltiplica ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo e si sommano i termini simili, ottenendo un nuovo polinomio che deve essere semplificato combinando i termini simili
Algebra e calcolo letterale
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00
Definizione di calcolo letterale
Sezione dell'algebra con espressioni in variabili rappresentate da lettere.
01
Cosa sono i monomi?
Espressioni con coefficiente numerico e variabili a esponente intero non negativo.
02
Proprietà usate nella moltiplicazione di monomi
Commutativa, associativa e legge delle potenze per basi uguali.
