La sottrazione in complemento a due

La Sottrazione in Complemento a Due

La sottrazione in complemento a due è una tecnica fondamentale nell'aritmetica dei computer per calcolare la differenza tra due numeri binari. Il processo si articola in due fasi: inizialmente, si converte il sottraendo nel suo complemento a due, che si ottiene invertendo tutti i bit e aggiungendo 1 al risultato. Successivamente, si somma il minuendo con il sottraendo convertito. Il bit più significativo (MSB) funge da bit di segno: se dopo la somma il MSB è 1, il risultato è negativo e se è 0, il risultato è positivo. Un riporto fuori dal MSB indica un risultato positivo e viene ignorato, mentre l'assenza di riporto con un MSB a 1 indica un risultato negativo e il valore è già nel formato corretto. Se i riporti tra le colonne n e n+1 sono discordi, si verifica un overflow, segnalando che il risultato eccede l'intervallo rappresentabile con il numero di bit a disposizione.

Esempi di Sottrazione in Complemento a Due

Per esemplificare la sottrazione in complemento a due, consideriamo alcuni casi pratici. Sottraendo +3 da +5 con una rappresentazione a 6 bit, si ottiene +2, senza overflow. Sottraendo +26 da +13, sempre con 6 bit, il risultato è -13; il riporto è 0 e il risultato è già espresso in complemento a due. Tuttavia, sottraendo +13 da -25 con 6 bit si verifica un overflow, poiché il risultato non è rappresentabile con i bit disponibili. Infine, sottraendo -44 da -54 con 8 bit, si ottiene -98, dimostrando che il metodo è valido anche per numeri negativi, purché il risultato rientri nell'intervallo rappresentabile.

La Rappresentazione in Eccesso \(2^{n−1}\)

La rappresentazione in eccesso \(2^{n−1}\) è un metodo alternativo per codificare numeri interi, che permette di rappresentare l'intervallo \([-2^{n-1}, +2^{n-1} - 1]\) con n bit. Per convertire un numero dal formato complemento a due a quello in eccesso \(2^{n−1}\), si inverte il bit più significativo. Un altro metodo consiste nel sommare \(2^{n-1}\) al numero e convertire il risultato in binario. Questa codifica trasla l'intervallo dei numeri, ponendo lo zero al centro dell'intervallo rappresentabile, e rende tutti i numeri positivi.

Decodifica e Codifica in Complemento a Due e Eccesso \(2^{n−1}\)

La decodifica di un numero in eccesso \(2^{n−1}\) si effettua sottraendo \(2^{n-1}\) dal numero codificato. Ad esempio, il numero binario 111 su 3 bit rappresenta il numero 7 in eccesso \(2^{3-1}\), che decodificato diventa 3. La codifica di numeri decimali positivi in binario su 8 bit e la loro conversione in modulo e segno, complemento a uno e complemento a due, segue un processo sistematico che consente di rappresentare sia numeri positivi che negativi in maniera univoca e pronta per l'elaborazione elettronica.

Il Complemento alla Base e il Complemento alla Base Meno Uno

Il complemento alla base (CAB) e il complemento alla base meno uno (CAB-1) sono concetti chiave nell'aritmetica binaria. Il CAB di un numero X in una base B è calcolato come \(B^N - X\), dove N è il numero di cifre del sistema di numerazione. Il CAB-1 è definito come \((B^N - 1) - X\). Questi metodi sono impiegati per rappresentare i numeri negativi e per convertire le sottrazioni in somme, facilitando le operazioni aritmetiche nei sistemi digitali. Ad esempio, in base 10, il complemento alla base di 20 è 80, che rappresenta -20. In base binaria, il complemento a uno si ottiene invertendo tutti i bit di un numero, mentre il complemento a due si calcola aggiungendo 1 al complemento a uno. Queste operazioni sono fondamentali per eseguire calcoli con numeri negativi e per interpretare correttamente i risultati delle operazioni binarie nei computer.