La sottrazione in complemento a due
Mappa concettuale
La sottrazione in complemento a due è una tecnica cruciale nell'aritmetica binaria, utilizzata per calcolare la differenza tra numeri binari. Questo metodo prevede la conversione del sottraendo in complemento a due e la successiva somma con il minuendo. Il bit più significativo indica il segno del risultato, mentre l'overflow segnala un superamento dell'intervallo rappresentabile. La rappresentazione in eccesso e i complementi alla base sono altri concetti fondamentali per la gestione dei numeri negativi e le operazioni aritmetiche nei sistemi digitali.
Riassunto
Schema
La Sottrazione in Complemento a Due
La sottrazione in complemento a due è una tecnica fondamentale nell'aritmetica dei computer per calcolare la differenza tra due numeri binari. Il processo si articola in due fasi: inizialmente, si converte il sottraendo nel suo complemento a due, che si ottiene invertendo tutti i bit e aggiungendo 1 al risultato. Successivamente, si somma il minuendo con il sottraendo convertito. Il bit più significativo (MSB) funge da bit di segno: se dopo la somma il MSB è 1, il risultato è negativo e se è 0, il risultato è positivo. Un riporto fuori dal MSB indica un risultato positivo e viene ignorato, mentre l'assenza di riporto con un MSB a 1 indica un risultato negativo e il valore è già nel formato corretto. Se i riporti tra le colonne n e n+1 sono discordi, si verifica un overflow, segnalando che il risultato eccede l'intervallo rappresentabile con il numero di bit a disposizione.Esempi di Sottrazione in Complemento a Due
Per esemplificare la sottrazione in complemento a due, consideriamo alcuni casi pratici. Sottraendo +3 da +5 con una rappresentazione a 6 bit, si ottiene +2, senza overflow. Sottraendo +26 da +13, sempre con 6 bit, il risultato è -13; il riporto è 0 e il risultato è già espresso in complemento a due. Tuttavia, sottraendo +13 da -25 con 6 bit si verifica un overflow, poiché il risultato non è rappresentabile con i bit disponibili. Infine, sottraendo -44 da -54 con 8 bit, si ottiene -98, dimostrando che il metodo è valido anche per numeri negativi, purché il risultato rientri nell'intervallo rappresentabile.La Rappresentazione in Eccesso \(2^{n−1}\)
La rappresentazione in eccesso \(2^{n−1}\) è un metodo alternativo per codificare numeri interi, che permette di rappresentare l'intervallo \([-2^{n-1}, +2^{n-1} - 1]\) con n bit. Per convertire un numero dal formato complemento a due a quello in eccesso \(2^{n−1}\), si inverte il bit più significativo. Un altro metodo consiste nel sommare \(2^{n-1}\) al numero e convertire il risultato in binario. Questa codifica trasla l'intervallo dei numeri, ponendo lo zero al centro dell'intervallo rappresentabile, e rende tutti i numeri positivi.Decodifica e Codifica in Complemento a Due e Eccesso \(2^{n−1}\)
La decodifica di un numero in eccesso \(2^{n−1}\) si effettua sottraendo \(2^{n-1}\) dal numero codificato. Ad esempio, il numero binario 111 su 3 bit rappresenta il numero 7 in eccesso \(2^{3-1}\), che decodificato diventa 3. La codifica di numeri decimali positivi in binario su 8 bit e la loro conversione in modulo e segno, complemento a uno e complemento a due, segue un processo sistematico che consente di rappresentare sia numeri positivi che negativi in maniera univoca e pronta per l'elaborazione elettronica.Il Complemento alla Base e il Complemento alla Base Meno Uno
Il complemento alla base (CAB) e il complemento alla base meno uno (CAB-1) sono concetti chiave nell'aritmetica binaria. Il CAB di un numero X in una base B è calcolato come \(B^N - X\), dove N è il numero di cifre del sistema di numerazione. Il CAB-1 è definito come \((B^N - 1) - X\). Questi metodi sono impiegati per rappresentare i numeri negativi e per convertire le sottrazioni in somme, facilitando le operazioni aritmetiche nei sistemi digitali. Ad esempio, in base 10, il complemento alla base di 20 è 80, che rappresenta -20. In base binaria, il complemento a uno si ottiene invertendo tutti i bit di un numero, mentre il complemento a due si calcola aggiungendo 1 al complemento a uno. Queste operazioni sono fondamentali per eseguire calcoli con numeri negativi e per interpretare correttamente i risultati delle operazioni binarie nei computer.
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Tecnica di sottrazione
Fasi della sottrazione in complemento a due
La sottrazione in complemento a due si articola in due fasi: la conversione del sottraendo nel suo complemento a due e la somma del minuendo con il sottraendo convertito
Bit di segno e riporto
Bit più significativo (MSB)
Il bit più significativo (MSB) funge da bit di segno, indicando se il risultato è positivo o negativo
Riporto
I riporti tra le colonne n e n+1 possono indicare un overflow, segnalando che il risultato eccede l'intervallo rappresentabile con il numero di bit a disposizione
Esempi pratici
La sottrazione in complemento a due può essere esemplificata con casi pratici, come la sottrazione di numeri positivi e negativi con diverse rappresentazioni a bit
Rappresentazione in eccesso \(2^{n−1}\)
Metodo di codifica
La rappresentazione in eccesso \(2^{n−1}\) è un metodo alternativo per codificare numeri interi, che permette di rappresentare un intervallo più ampio con un numero fisso di bit
Conversione da complemento a due a eccesso \(2^{n−1}\)
Per convertire un numero dal formato complemento a due a quello in eccesso \(2^{n−1}\), si può invertire il bit più significativo o sommare \(2^{n−1}\) al numero e convertire il risultato in binario
Decodifica di numeri in eccesso \(2^{n−1}\)
La decodifica di un numero in eccesso \(2^{n−1}\) si effettua sottraendo \(2^{n−1}\) dal numero codificato, ottenendo il numero originale
Complemento alla base e complemento alla base meno uno
Definizione
Il complemento alla base (CAB) e il complemento alla base meno uno (CAB-1) sono metodi utilizzati per rappresentare numeri negativi e per convertire le sottrazioni in somme
Utilizzo
Il CAB e il CAB-1 sono impiegati per semplificare le operazioni aritmetiche nei sistemi digitali, permettendo di rappresentare sia numeri positivi che negativi in maniera univoca
La sottrazione in complemento a due
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00
Nell'aritmetica dei computer, la ______ in complemento a due è essenziale per calcolare la differenza tra numeri binari.
sottrazione
01
Se dopo la somma il bit più significativo è 1, il risultato è ______; se è 0, è ______.
negativo
positivo
02
Risultato sottrazione +3 da +5 con 6 bit
Risultato +2, nessun overflow, rappresentazione corretta con 6 bit.
