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Il sistema di coordinate cartesiano

Il sistema di coordinate cartesiano è fondamentale per la matematica e la fisica, permettendo la localizzazione di punti nello spazio mediante assi ortogonali. Originato da René Descartes, questo sistema si estende dal piano bidimensionale a spazi multidimensionali, essendo cruciale per la geometria analitica, la rappresentazione di funzioni e la meccanica classica.

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1

Struttura del sistema di coordinate cartesiano

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Assi ortogonali che si intersecano in un punto chiamato origine, usati per definire la posizione di punti nello spazio.

2

Coordinate in un piano cartesiano

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Coppia di numeri reali (x, y) che localizzano un punto nel piano bidimensionale definito dagli assi x e y.

3

Estensione a spazi di dimensioni superiori

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Aggiunta di assi supplementari per descrivere spazi tridimensionali o di dimensioni maggiori, ad esempio con l'asse z nel 3D.

4

L'uso delle coordinate geometriche fu proposto per la prima volta da ______ nel ______ secolo.

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Nicola d'Oresme XIV

5

Il sistema di coordinate fu successivamente migliorato da , da cui deriva l'aggettivo ''.

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René Descartes cartesiano

6

Nel suo lavoro '______', Descartes descrisse l'impiego di due assi ______ per localizzare un punto su un piano.

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Discorso sul metodo perpendicolari

7

Anche ______ sviluppò un metodo simile in modo indipendente, ma non diffuse i suoi studi durante la sua esistenza.

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Pierre de Fermat

8

Componenti del piano cartesiano

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Due assi perpendicolari: asse delle ascisse (x) e asse delle ordinate (y), che si intersecano nell'origine (0,0).

9

Quadranti del piano cartesiano

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Quattro zone divise dagli assi: I (x>0, y>0), II (x<0, y>0), III (x<0, y<0), IV (x>0, y<0).

10

Uso del piano cartesiano in matematica

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Rappresentazione grafica di funzioni e soluzione di sistemi di equazioni tramite intersezioni delle curve.

11

Nello spazio vettoriale del piano cartesiano, ogni punto è identificato da una coppia di numeri che rappresentano le ______ di un vettore.

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componenti

12

I vettori unitari standard del piano cartesiano, paralleli agli assi, sono indicati con le lettere ______ e ______, rispettivamente.

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i j

13

Un punto o vettore nel piano cartesiano può essere descritto come una combinazione lineare dei vettori ______.

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di base

14

Assi perpendicolari nello spazio euclideo

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Gli assi x, y e z sono perpendicolari tra loro e definiscono lo spazio tridimensionale.

15

Coordinate di un punto nello spazio 3D

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Un punto è individuato da un terzetto di coordinate (x, y, z), che misurano le distanze dai piani degli altri due assi.

16

In geometria analitica, entità come rette e curve sono rappresentate da ______ algebriche.

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equazioni

17

Una retta nel piano ______ è definita da un insieme di soluzioni di un'equazione ______ in due variabili.

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cartesiano lineare

18

Le equazioni in geometria analitica possono essere scritte in forma ______, o in forma ______, a seconda della relazione tra le variabili.

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esplicita implicita

19

L'approccio della geometria analitica permette di studiare le proprietà ______ delle figure tramite metodi ______.

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geometriche algebrici

Q&A

Ecco un elenco delle domande più frequenti su questo argomento

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Definizione e Struttura del Sistema di Coordinate Cartesiano

Il sistema di coordinate cartesiano è una struttura matematica composta da assi ortogonali, definiti in uno spazio di dimensione n, che si incontrano in un punto chiamato origine. Ogni asse è orientato secondo una direzione e dotato di una scala di misura, consentendo di localizzare ogni punto dello spazio mediante un insieme di n numeri reali, detti coordinate. Nel caso bidimensionale, il sistema è conosciuto come piano cartesiano, composto dagli assi x e y. Per descrivere lo spazio tridimensionale, si utilizza un sistema cartesiano a tre assi, x, y e z. Questi sistemi possono essere generalizzati a spazi di dimensioni superiori, adattandosi ai gradi di libertà degli oggetti studiati.
Laboratorio scientifico moderno con modello di sistema di coordinate cartesiane e oggetti geometrici su tavolo illuminato.

Origini e Evoluzione del Sistema di Coordinate Cartesiano

L'impiego delle coordinate geometriche fu inizialmente proposto da Nicola d'Oresme nel XIV secolo e fu poi perfezionato da René Descartes, il cui nome è all'origine dell'aggettivo "cartesiano". Nel suo "Discorso sul metodo", Descartes introdusse l'uso di due assi perpendicolari per determinare la posizione di un punto su un piano, gettando le basi per la geometria analitica, il calcolo infinitesimale e la cartografia moderna. Questo metodo fu sviluppato indipendentemente anche da Pierre de Fermat, che tuttavia non pubblicò i suoi lavori durante la sua vita.

Il Piano Cartesiano e le sue Applicazioni

Il piano cartesiano è costituito dall'intersezione di due assi perpendicolari: l'asse delle ascisse (x) e l'asse delle ordinate (y), che si incontrano nell'origine (0,0). Ogni punto sul piano è definito da una coppia ordinata (x, y), che rappresenta le distanze del punto rispetto agli assi y e x. Il piano è diviso in quattro quadranti, che facilitano la determinazione del segno delle coordinate. Il piano cartesiano è fondamentale per la rappresentazione grafica di funzioni matematiche e per la soluzione di sistemi di equazioni, attraverso l'analisi delle intersezioni delle loro curve rappresentative.

Il Piano Cartesiano come Spazio Vettoriale

Il piano cartesiano può essere interpretato come uno spazio vettoriale, in cui ogni punto è rappresentato da una coppia ordinata di numeri reali, che corrispondono alle componenti di un vettore. La base standard di questo spazio è costituita dai vettori unitari i e j, che sono paralleli agli assi x e y, rispettivamente. Ogni punto o vettore nel piano può essere espresso come combinazione lineare di questi vettori di base, dimostrando che il piano cartesiano è generato da essi e che ciascun asse cartesiano rappresenta un sottospazio vettoriale unidimensionale.

Estensione del Sistema Cartesiano alle Tre Dimensioni

Aggiungendo una terza dimensione al piano cartesiano, si ottiene lo spazio euclideo tridimensionale, che modella lo spazio fisico in meccanica classica. Tre assi perpendicolari tra loro, x, y e z, definiscono tre piani cartesiani e suddividono lo spazio in otto ottanti. Ogni punto nello spazio tridimensionale è individuato da un terzetto di coordinate (x, y, z), che indicano le distanze del punto dai piani formati dalle coppie degli altri due assi.

Geometria Analitica e il Sistema di Coordinate Cartesiano

La geometria analitica è il ramo della matematica che combina la geometria con l'algebra attraverso l'uso del sistema di coordinate cartesiano. In questo ambito, entità geometriche come rette, curve e superfici sono descritte da equazioni algebriche. Una retta nel piano cartesiano, ad esempio, è definita dall'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare in due variabili. Le equazioni possono essere espresse in forma esplicita, dove una variabile è espressa in funzione dell'altra, o in forma implicita, dove l'equazione non è risolta per una variabile specifica. Questo approccio consente di esplorare le proprietà geometriche delle figure utilizzando metodi algebrici.