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La trasformata di Laplace e la sua antitrasformata

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La trasformata di Laplace è uno strumento matematico che collega il dominio temporale al dominio della frequenza, semplificando l'analisi di sistemi dinamici. Convertendo equazioni differenziali in algebriche, facilita lo studio della risposta dei sistemi lineari e tempo-invarianti. La scomposizione in fratti semplici e il calcolo dei residui sono tecniche chiave per l'antitrasformata di funzioni razionali fratte, permettendo di ricavare funzioni esponenziali, sinusoidali o smorzate nel tempo.

La Trasformata di Laplace: Un Ponte tra il Dominio Temporale e il Dominio della Frequenza

La trasformata di Laplace è uno strumento matematico essenziale per l'analisi dei sistemi dinamici, utilizzato ampiamente in ingegneria e fisica. Questa trasformazione consente di convertire equazioni differenziali, che descrivono sistemi nel dominio del tempo, in equazioni algebriche più gestibili nel dominio della frequenza complessa. Tale processo semplifica l'analisi della risposta di sistemi lineari e tempo-invarianti, sia nella loro evoluzione naturale sia nella risposta a stimoli esterni. La trasformata di Laplace di una funzione \( f(t) \) è indicata con \( L[f(t)] = F(s) \), dove \( s \) è una variabile complessa. L'operazione inversa, che permette di ritornare al dominio temporale, è l'antitrasformata di Laplace, denotata con \( L^{-1}[F(s)] = f(t) \). Per applicare la trasformata di Laplace in modo efficace, è necessario che la funzione \( f(t) \) sia definita per \( t \geq 0 \) e che sia di ordine esponenziale.
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L'Antitrasformata di Laplace e le Funzioni Razionali Fratte

L'antitrasformata di Laplace permette di recuperare la funzione originale nel tempo a partire dalla sua rappresentazione nel dominio della frequenza. Nel caso di funzioni razionali fratte, cioè rapporti di polinomi nella variabile \( s \), l'antitrasformata può essere effettuata mediante la scomposizione in fratti semplici. Questa tecnica prevede la divisione del numeratore e del denominatore per il coefficiente di grado più alto del denominatore, ottenendo una funzione esprimibile come somma di termini più semplici, con numeratori costanti e denominatori lineari o quadratici in \( s \). Questi termini corrispondono a funzioni esponenziali, sinusoidali o smorzate nel dominio temporale, a seconda della natura dei poli.

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00

Definizione di antitrasformata di Laplace

Operazione matematica per passare da rappresentazione in frequenza a funzione originale nel tempo.

01

Scomposizione in fratti semplici

Tecnica per dividere funzione razionale in somma di termini con numeratori costanti e denominatori lineari o quadratici.

02

Corrispondenza termini e funzioni nel tempo

Termini semplici si traducono in funzioni esponenziali, sinusoidali o smorzate nel dominio temporale.

Q&A

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