La trasformata di Laplace è uno strumento matematico che collega il dominio temporale al dominio della frequenza, semplificando l'analisi di sistemi dinamici. Convertendo equazioni differenziali in algebriche, facilita lo studio della risposta dei sistemi lineari e tempo-invarianti. La scomposizione in fratti semplici e il calcolo dei residui sono tecniche chiave per l'antitrasformata di funzioni razionali fratte, permettendo di ricavare funzioni esponenziali, sinusoidali o smorzate nel tempo.
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La trasformata di Laplace è un'operazione matematica che permette di convertire equazioni differenziali nel dominio del tempo in equazioni algebriche nel dominio della frequenza complessa
Analisi dei sistemi dinamici
La trasformata di Laplace è ampiamente utilizzata in ingegneria e fisica per semplificare l'analisi dei sistemi dinamici lineari e tempo-invarianti
Risposta dei sistemi a stimoli esterni
La trasformata di Laplace permette di analizzare la risposta dei sistemi a stimoli esterni, sia nella loro evoluzione naturale sia nella risposta a stimoli esterni
La trasformata di Laplace richiede che la funzione sia definita per t ≥ 0 e di ordine esponenziale per essere applicata in modo efficace
L'antitrasformata di Laplace è l'operazione inversa della trasformata di Laplace, che permette di ritornare al dominio temporale a partire dalla rappresentazione nel dominio della frequenza
Per antitrasformare funzioni razionali fratte, si utilizza il metodo della scomposizione in fratti semplici, che prevede la divisione del numeratore e del denominatore per il coefficiente di grado più alto del denominatore
Nell'antitrasformata di Laplace, gli zeri corrispondono ai valori di s per cui la funzione trasformata si annulla, mentre i poli indicano i valori di s per cui la funzione trasformata tende all'infinito
I residui sono valori associati ai poli di una funzione razionale fratta e si ottengono valutando il limite del prodotto della funzione per (s - p), dove p è un polo
I residui permettono di esprimere la funzione trasformata come somma di termini semplici, che possono essere antitrasformati in funzioni del tempo
Nel caso di poli complessi coniugati, i residui saranno anch'essi complessi coniugati e l'antitrasformata di questi termini comporta l'uso di funzioni trigonometriche moltiplicate per esponenziali reali
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Definizione di antitrasformata di Laplace
Operazione matematica per passare da rappresentazione in frequenza a funzione originale nel tempo.
01
Scomposizione in fratti semplici
Tecnica per dividere funzione razionale in somma di termini con numeratori costanti e denominatori lineari o quadratici.
02
Corrispondenza termini e funzioni nel tempo
Termini semplici si traducono in funzioni esponenziali, sinusoidali o smorzate nel dominio temporale.
