La Serie di Fourier e la Trasformata di Fourier
Concept Map
La Serie di Fourier è essenziale per decomporre segnali periodici in sinusoidi e cosinusoidi, mentre la Trasformata di Fourier analizza segnali non periodici. Questi strumenti matematici sono cruciali per l'analisi spettrale, offrendo una rappresentazione dettagliata delle componenti frequenziali dei segnali e facilitando la comprensione delle loro proprietà nel dominio del tempo e della frequenza.
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La Serie di Fourier e la Rappresentazione dei Segnali Periodici
La Serie di Fourier è uno strumento matematico fondamentale che consente di esprimere un segnale periodico come la somma infinita di sinusoidi e cosinusoidi, ciascuna con frequenze che sono multipli interi di una frequenza base, detta fondamentale. Affinché un segnale possa essere rappresentato mediante Serie di Fourier, deve soddisfare le condizioni di Dirichlet: deve avere un numero finito di discontinuità, un numero finito di estremi locali e deve essere integrabile in un intervallo di periodo. I coefficienti della serie, a_n e b_n, sono determinati calcolando gli integrali del segnale moltiplicato per le funzioni sinusoidali e cosinusoidali corrispondenti. La rappresentazione fornita dalla Serie di Fourier è duplice: nel dominio del tempo si descrive la composizione del segnale, mentre nel dominio della frequenza si evidenziano le ampiezze e le fasi delle componenti armoniche.La Trasformata di Fourier e l'Analisi dei Segnali Non Periodici
La Trasformata di Fourier estende il concetto della Serie di Fourier ai segnali non periodici, o a quelli con periodo infinito, convertendo il segnale dal dominio temporale a quello frequenziale. La trasformazione è realizzata attraverso un integrale che coinvolge il segnale e una funzione esponenziale complessa. Il risultato è una funzione complessa che fornisce informazioni dettagliate sull'ampiezza e la fase delle componenti frequenziali del segnale. Questo strumento è essenziale per l'analisi di segnali transitori, come impulsi o segnali che variano rapidamente, che presentano uno spettro di frequenza continuo e non sono adeguatamente descritti da una serie di termini discreti.Rappresentazione Grafica dei Segnali e Serie di Fourier
La visualizzazione grafica di un segnale è cruciale per l'analisi e la comprensione delle sue proprietà. Nel dominio del tempo, un segnale sinusoidale è rappresentato come una funzione oscillante con una specifica ampiezza e fase. Nel dominio della frequenza, il segnale è rappresentato da un picco che indica la sua frequenza e ampiezza. La Serie di Fourier facilita la comprensione di come un segnale periodico sia costituito da una serie di componenti sinusoidali a frequenze multiple della frequenza fondamentale, ognuna con la propria ampiezza e fase, offrendo una rappresentazione chiara del contenuto frequenziale del segnale.Analisi Spettrale di Segnali Quasi-Periodici e Casuali
L'analisi spettrale di segnali quasi-periodici, che non presentano una struttura armonica regolare, e di segnali casuali o stocastici, che sono tipici di molti fenomeni naturali, richiede metodi sofisticati. Per i segnali quasi-periodici si utilizza la trasformata di Fourier per identificare le componenti frequenziali. Per i segnali casuali, è fondamentale scegliere un tempo di acquisizione che preservi le proprietà statistiche del segnale. La trasformata di Fourier di un segnale casuale, registrato per un intervallo di tempo adeguato, rivela uno spettro di frequenza continuo che comprende tutte le componenti significative.Determinazione del Tempo di Acquisizione per Segnali Casuali
Nell'analisi dei segnali casuali, la scelta del tempo di acquisizione è determinante per garantire che la porzione di segnale analizzata sia rappresentativa dell'intero processo. Un tempo di acquisizione insufficiente può portare alla perdita di informazioni sulle componenti ad alta frequenza. Per stabilire un tempo di acquisizione appropriato, si confrontano le trasformate di Fourier del segnale in diversi intervalli temporali. Se la trasformata non mostra variazioni significative con l'aumentare del tempo di acquisizione, si può dedurre che il tempo selezionato è sufficiente per un'analisi accurata dello spettro frequenziale del segnale casuale.
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Serie di Fourier
Concetto di Serie di Fourier
La Serie di Fourier è uno strumento matematico che permette di rappresentare un segnale periodico come la somma di sinusoidi e cosinusoidi
Condizioni di Dirichlet
Numero finito di discontinuità
Per poter essere rappresentato mediante Serie di Fourier, un segnale deve avere un numero finito di discontinuità
Numero finito di estremi locali
Un'altra condizione necessaria per la rappresentazione mediante Serie di Fourier è che il segnale abbia un numero finito di estremi locali
Integrabilità in un intervallo di periodo
La terza condizione di Dirichlet richiede che il segnale sia integrabile in un intervallo di periodo
Calcolo dei coefficienti
I coefficienti della Serie di Fourier sono determinati calcolando gli integrali del segnale moltiplicato per le funzioni sinusoidali e cosinusoidali corrispondenti
Trasformata di Fourier
Estensione della Serie di Fourier
La Trasformata di Fourier estende il concetto della Serie di Fourier ai segnali non periodici o con periodo infinito
Conversione dal dominio temporale a quello frequenziale
La Trasformata di Fourier converte un segnale dal dominio temporale a quello frequenziale attraverso un integrale che coinvolge il segnale e una funzione esponenziale complessa
Informazioni fornite dalla Trasformata di Fourier
La Trasformata di Fourier fornisce informazioni dettagliate sull'ampiezza e la fase delle componenti frequenziali di un segnale
Analisi spettrale
Analisi di segnali quasi-periodici
Per analizzare segnali quasi-periodici si utilizza la Trasformata di Fourier per identificare le componenti frequenziali
Analisi di segnali casuali
L'analisi di segnali casuali richiede la scelta di un tempo di acquisizione adeguato per preservare le proprietà statistiche del segnale
Scelta del tempo di acquisizione
Per garantire un'analisi accurata dello spettro frequenziale di un segnale casuale, è fondamentale scegliere un tempo di acquisizione appropriato
La Serie di Fourier e la Trasformata di Fourier
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Definizione Serie di Fourier
Rappresentazione di un segnale periodico come somma infinita di sinusoidi e cosinusoidi con frequenze multiple di una base.
01
Coeff. Serie di Fourier, a_n e b_n
Calcolati tramite integrali del segnale per le funzioni sinusoidali e cosinusoidali corrispondenti.
02
Rappresentazione Serie di Fourier
Nel tempo descrive composizione del segnale, in frequenza evidenzia ampiezze e fasi delle armoniche.
