La Serie di Fourier e la Trasformata di Fourier

La Serie di Fourier e la Rappresentazione dei Segnali Periodici

La Serie di Fourier è uno strumento matematico fondamentale che consente di esprimere un segnale periodico come la somma infinita di sinusoidi e cosinusoidi, ciascuna con frequenze che sono multipli interi di una frequenza base, detta fondamentale. Affinché un segnale possa essere rappresentato mediante Serie di Fourier, deve soddisfare le condizioni di Dirichlet: deve avere un numero finito di discontinuità, un numero finito di estremi locali e deve essere integrabile in un intervallo di periodo. I coefficienti della serie, a_n e b_n, sono determinati calcolando gli integrali del segnale moltiplicato per le funzioni sinusoidali e cosinusoidali corrispondenti. La rappresentazione fornita dalla Serie di Fourier è duplice: nel dominio del tempo si descrive la composizione del segnale, mentre nel dominio della frequenza si evidenziano le ampiezze e le fasi delle componenti armoniche.

La Trasformata di Fourier e l'Analisi dei Segnali Non Periodici

La Trasformata di Fourier estende il concetto della Serie di Fourier ai segnali non periodici, o a quelli con periodo infinito, convertendo il segnale dal dominio temporale a quello frequenziale. La trasformazione è realizzata attraverso un integrale che coinvolge il segnale e una funzione esponenziale complessa. Il risultato è una funzione complessa che fornisce informazioni dettagliate sull'ampiezza e la fase delle componenti frequenziali del segnale. Questo strumento è essenziale per l'analisi di segnali transitori, come impulsi o segnali che variano rapidamente, che presentano uno spettro di frequenza continuo e non sono adeguatamente descritti da una serie di termini discreti.

Rappresentazione Grafica dei Segnali e Serie di Fourier

La visualizzazione grafica di un segnale è cruciale per l'analisi e la comprensione delle sue proprietà. Nel dominio del tempo, un segnale sinusoidale è rappresentato come una funzione oscillante con una specifica ampiezza e fase. Nel dominio della frequenza, il segnale è rappresentato da un picco che indica la sua frequenza e ampiezza. La Serie di Fourier facilita la comprensione di come un segnale periodico sia costituito da una serie di componenti sinusoidali a frequenze multiple della frequenza fondamentale, ognuna con la propria ampiezza e fase, offrendo una rappresentazione chiara del contenuto frequenziale del segnale.

Analisi Spettrale di Segnali Quasi-Periodici e Casuali

L'analisi spettrale di segnali quasi-periodici, che non presentano una struttura armonica regolare, e di segnali casuali o stocastici, che sono tipici di molti fenomeni naturali, richiede metodi sofisticati. Per i segnali quasi-periodici si utilizza la trasformata di Fourier per identificare le componenti frequenziali. Per i segnali casuali, è fondamentale scegliere un tempo di acquisizione che preservi le proprietà statistiche del segnale. La trasformata di Fourier di un segnale casuale, registrato per un intervallo di tempo adeguato, rivela uno spettro di frequenza continuo che comprende tutte le componenti significative.

Determinazione del Tempo di Acquisizione per Segnali Casuali

Nell'analisi dei segnali casuali, la scelta del tempo di acquisizione è determinante per garantire che la porzione di segnale analizzata sia rappresentativa dell'intero processo. Un tempo di acquisizione insufficiente può portare alla perdita di informazioni sulle componenti ad alta frequenza. Per stabilire un tempo di acquisizione appropriato, si confrontano le trasformate di Fourier del segnale in diversi intervalli temporali. Se la trasformata non mostra variazioni significative con l'aumentare del tempo di acquisizione, si può dedurre che il tempo selezionato è sufficiente per un'analisi accurata dello spettro frequenziale del segnale casuale.