Sistemi di equazioni lineari

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I sistemi di equazioni lineari sono fondamentali in algebra per trovare soluzioni comuni a più equazioni. Questi sistemi possono essere determinati, impossibili o indeterminati e la loro analisi può includere parametri variabili. La rappresentazione grafica su un piano cartesiano offre una visualizzazione immediata della natura delle soluzioni, mentre il teorema di Cramer fornisce un metodo algebrico per la loro determinazione.

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La soluzione di un sistema di equazioni lineari è l'insieme di valori che rendono tutte le equazioni ______ quando sostituite alle ______.

vere

variabili

Un sistema di equazioni lineari in due variabili si esprime generalmente come ______ + ______ = ______, con coefficienti reali.

ax

by

c

Per rappresentare graficamente un sistema di equazioni, si elencano le equazioni una sotto l'altra, separate da una ______ o da una parentesi ______ a sinistra.

virgola

graffa

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Definizione e Proprietà dei Sistemi di Equazioni Lineari

Un sistema di equazioni lineari consiste in un insieme di due o più equazioni lineari con le stesse variabili, che devono essere soddisfatte simultaneamente. La soluzione di tale sistema è l'insieme di valori che, sostituiti alle variabili, rendono vere tutte le equazioni contemporaneamente. Un sistema di equazioni lineari in due variabili è comunemente rappresentato nella forma ax + by = c, dove a, b e c sono coefficienti reali e a e b non sono entrambi zero. La rappresentazione grafica di un sistema è data elencando le equazioni una sotto l'altra, separate da una virgola o da una parentesi graffa a sinistra, a indicare che devono essere considerate insieme.

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Classificazione e Soluzioni dei Sistemi di Equazioni

I sistemi di equazioni lineari si classificano in base al numero di soluzioni che possiedono. Un sistema è detto determinato se ha una sola soluzione, impossibile se non ne ha nessuna, e indeterminato se ha infinite soluzioni. Due sistemi sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. I sistemi possono essere ulteriormente distinti in sistemi con equazioni intere, dove le incognite non compaiono al denominatore, e sistemi con equazioni frazionarie, dove le incognite sono presenti anche al denominatore. Il grado di un sistema è dato dal massimo grado delle equazioni che lo compongono, e un sistema è lineare se tutte le equazioni sono di primo grado.

Rappresentazione Grafica dei Sistemi di Equazioni Lineari

Nel piano cartesiano, un sistema di due equazioni lineari in due variabili è rappresentato da due rette. Il punto di intersezione delle rette, se esiste, rappresenta la soluzione del sistema. Se le rette sono coincidenti, il sistema è indeterminato e presenta infinite soluzioni; se le rette sono parallele e non coincidenti, il sistema è impossibile e non ha soluzioni. La forma normale di un sistema di equazioni lineari facilita la rappresentazione grafica e l'identificazione delle soluzioni.

Analisi e Risoluzione dei Sistemi Lineari con Parametri

I sistemi di equazioni lineari che includono parametri richiedono un'analisi dettagliata per determinare se sono determinati, impossibili o indeterminati al variare dei parametri. Il teorema di Cramer, che si basa sul calcolo dei determinanti, è uno strumento utile in questa analisi. Si calcolano i determinanti D, Dx e Dy del sistema e si esaminano i valori del parametro per cui D è non nullo, indicando un sistema determinato con una soluzione unica. Quando D è nullo, si valutano i casi che portano a sistemi impossibili o indeterminati, e si riassumono i risultati dell'analisi.

Esempio di Risoluzione di un Sistema Lineare con Parametro

Consideriamo il sistema lineare letterale {ax + (a + 2)y = 4, ax - y = -2}. Calcolando i determinanti D, Dx e Dy, si determina che per a ≠ 0 e a ≠ -2 il sistema è determinato e presenta una soluzione unica. Se a = 0, il sistema diventa indeterminato, mentre se a = -2, il sistema è impossibile. Questo esempio mostra come la risoluzione di sistemi lineari con parametri richieda un'analisi attenta dei valori del parametro e l'applicazione di metodi algebrici per stabilire la natura del sistema e identificare le soluzioni possibili.

Sistemi di equazioni lineari

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Sistemi di equazioni lineari

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Equazioni lineari

Soluzione di un sistema di equazioni lineari

Classificazione dei sistemi di equazioni lineari

Rappresentazione grafica di un sistema di equazioni lineari

Rappresentazione nel piano cartesiano

Punto di intersezione delle rette

Tipi di sistemi in base alle rette

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari con parametri

Analisi dei parametri

Teorema di Cramer

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