Sistemi di equazioni lineari

Definizione e Proprietà dei Sistemi di Equazioni Lineari

Un sistema di equazioni lineari consiste in un insieme di due o più equazioni lineari con le stesse variabili, che devono essere soddisfatte simultaneamente. La soluzione di tale sistema è l'insieme di valori che, sostituiti alle variabili, rendono vere tutte le equazioni contemporaneamente. Un sistema di equazioni lineari in due variabili è comunemente rappresentato nella forma ax + by = c, dove a, b e c sono coefficienti reali e a e b non sono entrambi zero. La rappresentazione grafica di un sistema è data elencando le equazioni una sotto l'altra, separate da una virgola o da una parentesi graffa a sinistra, a indicare che devono essere considerate insieme.

Classificazione e Soluzioni dei Sistemi di Equazioni

I sistemi di equazioni lineari si classificano in base al numero di soluzioni che possiedono. Un sistema è detto determinato se ha una sola soluzione, impossibile se non ne ha nessuna, e indeterminato se ha infinite soluzioni. Due sistemi sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. I sistemi possono essere ulteriormente distinti in sistemi con equazioni intere, dove le incognite non compaiono al denominatore, e sistemi con equazioni frazionarie, dove le incognite sono presenti anche al denominatore. Il grado di un sistema è dato dal massimo grado delle equazioni che lo compongono, e un sistema è lineare se tutte le equazioni sono di primo grado.

Rappresentazione Grafica dei Sistemi di Equazioni Lineari

Nel piano cartesiano, un sistema di due equazioni lineari in due variabili è rappresentato da due rette. Il punto di intersezione delle rette, se esiste, rappresenta la soluzione del sistema. Se le rette sono coincidenti, il sistema è indeterminato e presenta infinite soluzioni; se le rette sono parallele e non coincidenti, il sistema è impossibile e non ha soluzioni. La forma normale di un sistema di equazioni lineari facilita la rappresentazione grafica e l'identificazione delle soluzioni.

Analisi e Risoluzione dei Sistemi Lineari con Parametri

I sistemi di equazioni lineari che includono parametri richiedono un'analisi dettagliata per determinare se sono determinati, impossibili o indeterminati al variare dei parametri. Il teorema di Cramer, che si basa sul calcolo dei determinanti, è uno strumento utile in questa analisi. Si calcolano i determinanti D, Dx e Dy del sistema e si esaminano i valori del parametro per cui D è non nullo, indicando un sistema determinato con una soluzione unica. Quando D è nullo, si valutano i casi che portano a sistemi impossibili o indeterminati, e si riassumono i risultati dell'analisi.

Esempio di Risoluzione di un Sistema Lineare con Parametro

Consideriamo il sistema lineare letterale {ax + (a + 2)y = 4, ax - y = -2}. Calcolando i determinanti D, Dx e Dy, si determina che per a ≠ 0 e a ≠ -2 il sistema è determinato e presenta una soluzione unica. Se a = 0, il sistema diventa indeterminato, mentre se a = -2, il sistema è impossibile. Questo esempio mostra come la risoluzione di sistemi lineari con parametri richieda un'analisi attenta dei valori del parametro e l'applicazione di metodi algebrici per stabilire la natura del sistema e identificare le soluzioni possibili.