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La derivación matemática es esencial para entender cómo cambian las funciones respecto a sus variables. Incluye reglas para constantes, productos y cocientes, y técnicas como la regla de la cadena para funciones compuestas. Las derivadas son vitales en economía para calcular costos y en física para describir movimiento. Además, se exploran derivadas implícitas, de orden superior y funciones hiperbólicas.
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La derivada es una medida matemática que indica cómo cambia el valor de una función con respecto a un cambio en su variable independiente
Notación común de la derivada
La derivada se denota comúnmente como \( f'(x) \) o \( \frac{df}{dx} \)
Relación entre la función y su derivada
La derivada se relaciona con la función original mediante la notación \( y = f(x) \)
Derivada de una constante
La derivada de una constante es cero
Derivada de la potencia
La derivada de una potencia \( x^n \) es \( nx^{n-1} \)
Reglas para la suma, el producto y el cociente
Existen reglas para calcular la derivada de funciones más complejas, como la suma, el producto y el cociente
La derivada de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función
La derivada de un producto de dos funciones es el producto de la primera función y la derivada de la segunda, más el producto de la segunda función y la derivada de la primera
La derivada de \( f(x) = 5 \) es cero y la derivada de \( F(x) = x^5 \) es \( 5x^4 \)
La regla de la cadena es una técnica para derivar funciones compuestas, que consiste en descomponer la derivada en partes más simples
La regla de la cadena se formula como \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)
La regla de la cadena se aplica en funciones anidadas, como en \( y = (x^2 - 2)^8 \), para simplificar el cálculo de la derivada
La derivación implícita se utiliza para encontrar la derivada de funciones presentadas de forma implícita en lugar de explícita
Las derivadas de orden superior se refieren a la derivación sucesiva de una función
Las derivadas de orden superior permiten analizar aspectos como la concavidad y los puntos de inflexión de una función
La derivada tiene aplicaciones prácticas en campos como la economía, la física y la psicología
La derivada se utiliza para determinar el costo marginal en economía, describir la velocidad y la aceleración en física, y modelar la tasa de cambio en el aprendizaje en psicología
Las derivadas inversas se ocupan de funciones que son inversas entre sí
La derivada de la función inversa se puede calcular utilizando la relación entre las derivadas de las funciones originales e inversas
Las derivadas inversas son útiles para calcular antiderivadas de funciones hiperbólicas y resolver ecuaciones con funciones trigonométricas inversas
00
Regla de la constante
La derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función.
01
Regla del producto
La derivada de un producto de dos funciones es la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera.
02
Derivada de una constante
La derivada de una constante es cero.
