Introducción al Cálculo Integral

Mapa conceptual

Algorino

Edición disponible

El cálculo integral es esencial en matemáticas y ciencias para determinar áreas y volúmenes. Se basa en la integral de Riemann, particiones del intervalo y sumas de Riemann para estimar el área bajo curvas. Funciones continuas o con discontinuidades limitadas suelen ser integrables, a diferencia de funciones altamente discontinuas como la de Dirichlet.

Resumen

Esquema

Introducción al Cálculo Integral

El cálculo integral, una rama fundamental de las matemáticas, se desarrolló históricamente para abordar problemas de cuadraturas, que implican la determinación de áreas y volúmenes. Sus orígenes se remontan a la antigüedad, con los matemáticos griegos abordando cuestiones geométricas. Con el tiempo, el cálculo integral ha encontrado aplicaciones en una amplia gama de campos, incluyendo las ciencias naturales y la ingeniería. Un concepto central en el cálculo integral es la integral de Riemann, que se aplica a funciones que están acotadas y definidas en intervalos cerrados [a, b], donde a y b son números reales con a < b. Para que una función sea Riemann-integrable, debe cumplir con ciertos criterios de continuidad o tener discontinuidades de ciertos tipos y no ser demasiado errática.

Aula luminosa con mesa de madera y figuras geométricas 3D, pizarra limpia, estantería con libros y ventana con vista a árboles.

Particiones y Sumas de Riemann

La integral de Riemann se basa en el concepto de partición de un intervalo [a, b], que consiste en dividirlo en n subintervalos mediante puntos finitos ordenados. Estos puntos forman una partición P = {x0, x1, ..., xn}, donde a = x0 < x1 < ... < xn = b. La suma de las longitudes de estos subintervalos es igual a la longitud del intervalo original. La norma de la partición, denotada como ||P||, es la longitud del subintervalo más largo. Un refinamiento de una partición es una nueva partición que incluye todos los puntos de la partición original y posiblemente puntos adicionales, lo que permite una división más detallada del intervalo.

Sumas Inferiores y Superiores de Riemann

Las sumas inferiores y superiores de Riemann son esenciales para estimar el área bajo la curva de una función. La suma inferior, s(f, P), se obtiene tomando el ínfimo de la función en cada subintervalo y multiplicándolo por la longitud del subintervalo correspondiente. De manera similar, la suma superior, S(f, P), se calcula tomando el supremo de la función en cada subintervalo. Estas sumas representan el área de los rectángulos que están, respectivamente, inscritos y circunscritos alrededor de la curva de la función. Para una función no negativa en [a, b], el área bajo la curva debe ser mayor o igual que cualquier suma inferior y menor o igual que cualquier suma superior.

La Integral Definida

La integral definida de una función f(x) sobre un intervalo [a, b] se simboliza como ∫ab f(x) dx y se define como el límite de las sumas de Riemann cuando la norma de la partición tiende a cero. Si este límite existe y es único, la función se dice que es Riemann-integrable en el intervalo. La integral definida es independiente de la partición específica utilizada y, para funciones no negativas, representa el área acumulada bajo la curva de la función entre a y b.

Ejemplos y Propiedades de la Integral Definida

Ejemplos de la integral definida incluyen la integración de una constante C sobre un intervalo [a, b], que resulta en C(b - a), y la integración de la función lineal f(x) = x en el intervalo [0, 1], que da como resultado 1/2. Estos ejemplos muestran cómo se puede calcular la integral definida a partir de la definición de las sumas de Riemann. Además, se destacan propiedades importantes de las sumas de Riemann, como que la suma inferior es siempre menor o igual a la suma superior para cualquier partición y que las sumas se aproximan entre sí a medida que la partición se hace más fina.

Criterios de Integrabilidad

Aunque muchas funciones acotadas son integrables, existen excepciones. Una condición necesaria para la integrabilidad es que la función esté acotada en el intervalo [a, b], pero esto no garantiza la integrabilidad. Las funciones continuas, o aquellas con un número finito de discontinuidades de salto, suelen ser integrables. Un ejemplo clásico de una función no integrable es la función de Dirichlet, que asigna el valor 0 a los números racionales y 1 a los irracionales. A pesar de estar acotada, esta función no es Riemann-integrable en ningún intervalo debido a su naturaleza altamente discontinua.