Las ecuaciones diferenciales son herramientas matemáticas clave para modelar fenómenos dinámicos en diversas disciplinas. Permiten describir cómo evolucionan los sistemas en función del tiempo o de otras variables, como se ve en la Ley de Enfriamiento de Newton y la Segunda Ley de Newton. Se clasifican por variables independientes, orden y linealidad, y su resolución requiere condiciones iniciales para garantizar soluciones únicas. La representación gráfica y el campo de isoclinas son esenciales para visualizar las soluciones, mientras que los ejercicios prácticos fortalecen la comprensión y aplicación de estos conceptos.
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Las ecuaciones diferenciales describen la relación entre una función y sus derivadas
Ejemplos de fenómenos modelados con ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales son esenciales en la modelización de fenómenos dinámicos en ciencias e ingeniería, como el enfriamiento de un cuerpo o el movimiento de un objeto bajo la influencia de fuerzas externas
Las ecuaciones diferenciales son fundamentales para entender cómo evolucionan los sistemas en función del tiempo o de otras variables
Las EDO contienen derivadas con respecto a una sola variable independiente
Las EDP involucran derivadas respecto a múltiples variables independientes
Las ecuaciones lineales se caracterizan por tener términos lineales en la función desconocida y sus derivadas, mientras que las no lineales presentan términos no lineales
Una solución de una ecuación diferencial es una función que cumple con la ecuación en todo un intervalo de la variable independiente
Las soluciones explícitas tienen la variable dependiente expresada directamente en función de la independiente, mientras que las implícitas se establecen a través de una ecuación que involucra ambas variables
Para verificar una solución, se sustituye en la ecuación original y se comprueba que se satisface la igualdad
Las ecuaciones diferenciales con valores iniciales establecen condiciones específicas que la solución debe satisfacer en un punto dado
Las condiciones iniciales permiten identificar una solución única en un intervalo alrededor de un punto dado
El Teorema de Existencia y Unicidad garantiza que, si se cumplen ciertos requisitos, existe una única solución que cumple con la ecuación diferencial y las condiciones iniciales en un intervalo cercano al punto de interés
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Ley de Enfriamiento de Newton
Modela cómo la temperatura de un objeto cambia con el tiempo, usando ecuaciones diferenciales para predecir enfriamiento.
01
Segunda Ley de Newton
Relaciona fuerza y aceleración mediante ecuaciones diferenciales, clave para entender la dinámica de objetos.
02
Ecuación logística
Describe crecimiento poblacional con límites, mejora modelo de Malthus añadiendo término de saturación.
