Las matrices son fundamentales en matemáticas, permitiendo operaciones como suma, multiplicación y búsqueda de inversas. Los determinantes evalúan la invertibilidad y los sistemas lineales se resuelven con métodos numéricos eficientes.
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Las matrices son arreglos rectangulares de números, símbolos o expresiones, organizados en filas y columnas
La dimensión de una matriz se expresa como 'm x n', donde 'm' es el número de filas y 'n' el de columnas
Las operaciones básicas con matrices incluyen la suma y la multiplicación por escalares
En la suma de matrices, se suman los elementos correspondientes de dos matrices de igual dimensión
La suma de matrices obedece a propiedades como la conmutatividad y la asociatividad
En la suma de matrices, existe un elemento neutro (el número 0) y un elemento opuesto para cada matriz
La multiplicación de matrices combina dos matrices para producir una nueva matriz
Para que la multiplicación sea posible, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz
La multiplicación de matrices es asociativa y distributiva respecto a la suma de matrices
La matriz traspuesta se obtiene intercambiando filas por columnas de la matriz original
Las matrices simétricas y antisimétricas son iguales o el negativo de su propia traspuesta, respectivamente
Las matrices especiales tienen propiedades como la igualdad o el negativo de su propia traspuesta
La matriz inversa de una matriz cuadrada A, denotada como A^-1, es la matriz que, al multiplicarse por A, produce la matriz identidad I
Solo las matrices cuadradas con determinante no nulo son invertibles
Los métodos para calcular la matriz inversa incluyen la eliminación de Gauss-Jordan y el cálculo de la matriz adjunta y el determinante
La traza de una matriz es la suma de los elementos de la diagonal principal
Las operaciones elementales por filas son útiles en la manipulación de matrices y en la determinación de propiedades como el rango
La traza de una matriz tiene propiedades como la igualdad o el negativo de su propia traza
El determinante es un valor numérico que se asigna a una matriz cuadrada y es fundamental en el análisis de sistemas lineales y en la geometría
El determinante se puede calcular mediante reglas de expansión por cofactores o mediante la reducción a una forma triangular
El determinante se anula si la matriz tiene filas o columnas linealmente dependientes, y el determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes
Los sistemas de ecuaciones lineales pueden representarse y analizarse eficientemente en forma matricial
La solución de un sistema depende de las propiedades de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada
La regla de Cramer proporciona una solución explícita para sistemas cuadrados y no singulares, utilizando determinantes
00
Dimensión de una matriz
Se denota 'm x n', donde 'm' es el número de filas y 'n' el número de columnas.
01
Suma de matrices
Consiste en sumar los elementos correspondientes de dos matrices de igual dimensión.
02
Multiplicación de una matriz por un escalar
Cada elemento de la matriz se multiplica por un número real o complejo, respetando distributividad.
