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Geometria piana

Le relazioni geometriche tra poligoni e circonferenze sono fondamentali in geometria. Poligoni inscritti e circoscritti hanno proprietà uniche, come la distanza equidistante dei vertici o dei lati dal centro della circonferenza. I criteri di inscrivibilità e circoscrivibilità variano per triangoli e quadrilateri, mentre i poligoni regolari offrono simmetria e facilità di calcolo dell'area grazie al numero fisso.

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1

Nella ______ piana si esaminano le interazioni tra forme quali ______ e ______.

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geometria poligoni circonferenze

2

Vertici dei poligoni inscritti

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Equidistanti dal centro della circonferenza.

3

Circocentro nei poligoni inscritti

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Intersezione degli assi dei lati, centro della circonferenza circoscritta.

4

Incentro nei poligoni circoscritti

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Punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni, equidistante dai lati.

5

Il punto in cui si incontrano gli assi dei lati di un triangolo è detto ______.

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circocentro

6

Un quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza se la somma degli angoli ______ è di 180 gradi.

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opposti

7

Poligoni regolari: inscrivibilità e circoscrivibilità

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Ogni poligono regolare può essere inscritto e circoscritto in/di una circonferenza; il centro del poligono corrisponde al centro delle circonferenze.

8

Raggio e apotema nei poligoni regolari

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Il raggio collega il centro del poligono a un vertice ed è uguale al raggio della circonferenza circoscritta; l'apotema collega il centro a un lato ed è uguale al raggio della circonferenza inscritta.

9

Scomposizione in triangoli isosceli

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I raggi del poligono dividono la figura in triangoli isosceli congruenti, utili per calcoli geometrici tramite scomposizione in triangoli rettangoli e applicazione del teorema di Pitagora.

10

La formula per determinare l'area di un poligono regolare è ______ = (n × l × a) / 2, dove 'n' è il numero dei lati, 'l' la lunghezza di un lato e 'a' l'apotema.

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Area

11

Rapporto apotema-lato poligono regolare

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Indica la distanza costante tra il centro e i lati del poligono, utile per calcoli geometrici.

12

Calcolo area poligono regolare

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Si moltiplica il perimetro per l'apotema e si divide per 2, usando il numero fisso per trovare l'apotema.

13

Dipendenza numero fisso

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Il numero fisso dipende esclusivamente dal numero dei lati del poligono regolare.

Q&A

Ecco un elenco delle domande più frequenti su questo argomento

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Relazioni Geometriche tra Poligoni e Circonferenze

La geometria piana studia le relazioni tra figure come poligoni e circonferenze. Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici giacciono sulla circonferenza, e la circonferenza è detta circoscritta al poligono. Inversamente, un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza, e la circonferenza è detta inscritta nel poligono. Queste relazioni sono essenziali per l'analisi delle proprietà geometriche dei poligoni e delle circonferenze correlate.
Poligoni regolari creati con bastoncini di legno e connettori su superficie neutra, inclusi esagono, pentagono, ottagono e decagono.

Caratteristiche dei Poligoni Inscritti e Circoscritti

I poligoni inscritti hanno la proprietà che i loro vertici sono equidistanti dal centro della circonferenza, e gli assi dei loro lati si intersecano nel circocentro, che è anche il centro della circonferenza circoscritta. Per i poligoni circoscritti, i segmenti che congiungono il centro della circonferenza ai punti di tangenza sono congruenti e perpendicolari ai lati del poligono, e sono noti come raggi dell'incentro. Le bisettrici degli angoli interni del poligono si incontrano nel centro della circonferenza inscritta, detto incentro, che è equidistante da tutti i lati del poligono.

Criteri di Inscrivibilità e Circoscrivibilità per Triangoli e Quadrilateri

Tutti i triangoli possono essere inscritti e circoscritti a una circonferenza. Gli assi dei lati di un triangolo si incontrano nel circocentro, mentre le bisettrici degli angoli interni convergono nell'incentro. La posizione del circocentro dipende dalla tipologia del triangolo: è interno per i triangoli acutangoli, coincide con il punto medio dell'ipotenusa nei triangoli rettangoli e si trova all'esterno nei triangoli ottusangoli. Per i quadrilateri, l'inscrivibilità è possibile se e solo se la somma degli angoli opposti è pari a 180 gradi (angoli supplementari), mentre un quadrilatero è circoscrivibile se le somme delle lunghezze dei lati opposti sono uguali.

Simmetria e Proprietà dei Poligoni Regolari

I poligoni regolari, aventi tutti i lati e gli angoli uguali, sono sempre inscrivibili e circoscrivibili a una circonferenza. In questi poligoni, incentro e circocentro coincidono e corrispondono al centro del poligono. Il raggio del poligono, che è la distanza dal centro a un vertice, è uguale al raggio della circonferenza circoscritta, mentre l'apotema, la distanza dal centro a un lato, è equivalente al raggio della circonferenza inscritta. I raggi del poligono dividono la figura in triangoli isosceli congruenti, che possono essere scomposti in triangoli rettangoli per calcolare l'apotema e altre misure geometriche utilizzando il teorema di Pitagora.

Metodo di Calcolo dell'Area dei Poligoni Regolari e Circoscritti

L'area di un poligono regolare si calcola moltiplicando l'area di uno dei triangoli isosceli formati dai raggi per il numero totale dei lati del poligono. La formula generale è Area = (n × l × a) / 2, dove n rappresenta il numero dei lati, l la lunghezza di un lato e a l'apotema. Questa formula è applicabile anche ai poligoni circoscritti, considerando che l'area può essere vista come quella di un triangolo con base pari al perimetro del poligono e altezza pari all'apotema. Questo metodo fornisce un calcolo efficiente e accurato dell'area di poligoni regolari e circoscritti.

Il Numero Fisso nei Poligoni Regolari

I poligoni regolari hanno una caratteristica nota come numero fisso, che è il rapporto tra l'apotema (a) e il lato (l) del poligono, e dipende unicamente dal numero dei lati. Questo rapporto, indicato con la lettera f, facilita il calcolo dell'apotema e dell'area di un poligono regolare a partire dalla lunghezza del lato. Ad esempio, per un decagono regolare con lato di lunghezza 8 cm, conoscendo il numero fisso corrispondente, si può determinare l'apotema e, di conseguenza, l'area del poligono. Questo concetto è cruciale per risolvere problemi geometrici relativi ai poligoni regolari.