Definizione e Proprietà delle Funzioni Matematiche

In matematica, una funzione è una relazione ben definita tra due insiemi che associa ad ogni elemento del primo insieme, chiamato dominio, esattamente un elemento del secondo insieme, noto come codominio. La funzione è spesso indicata con f: A → B, dove A rappresenta il dominio e B il codominio. La relazione è rappresentabile mediante un diagramma di freccia, dove ogni elemento di A è connesso tramite una freccia a un unico elemento di B. È fondamentale comprendere che, sebbene ogni elemento del dominio sia legato a un solo elemento del codominio, elementi distinti del dominio possono condividere lo stesso elemento del codominio. Il dominio di una funzione comprende tutti i valori per cui la funzione è definita, mentre il codominio include tutti i valori che la funzione può assumere. Inoltre, l'insieme immagine (o range) di una funzione è il sottoinsieme del codominio costituito da tutti gli elementi che sono immagine di almeno un elemento del dominio.

Classificazione delle Funzioni in Base a Iniettività e Suriettività

Le funzioni possono essere classificate in base alle loro proprietà di iniettività e suriettività. Una funzione si dice iniettiva (o iniettore) se elementi distinti del dominio sono associati a elementi distinti del codominio, ovvero se a ≠ b implica f(a) ≠ f(b) per ogni a, b nel dominio. Una funzione è detta suriettiva (o suriettore) se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio, il che significa che l'insieme immagine coincide con l'intero codominio. Una funzione che è sia iniettiva che suriettiva è detta biiettiva (o biunivoca), e stabilisce una corrispondenza uno-a-uno tra gli elementi del dominio e quelli del codominio. La biiettività è una proprietà fondamentale per le funzioni invertibili, poiché solo le funzioni biiettive hanno un'inversa che è anch'essa una funzione.