Le applicazioni lineari sono funzioni che collegano spazi vettoriali, mantenendo le operazioni di addizione e moltiplicazione per scalare. Queste trasformazioni sono rappresentabili con matrici e sono essenziali per comprendere la struttura degli spazi vettoriali, la loro invertibilità e dimensione. Il nucleo e l'immagine di queste applicazioni sono sottospazi vettoriali che rispettivamente indicano i vettori mappati nel vettore nullo e quelli che hanno una pre-immagine in V. Il Teorema del Rango-Nullità gioca un ruolo chiave nella comprensione di queste relazioni.
Le applicazioni lineari sono funzioni che preservano le operazioni di addizione e moltiplicazione per scalare tra spazi vettoriali
Per essere lineari, una funzione deve soddisfare le proprietà di additività e omogeneità
Le applicazioni lineari possono essere rappresentate tramite matrici quando gli spazi vettoriali hanno dimensione finita
Gli endomorfismi sono applicazioni lineari che mappano uno spazio vettoriale in sé stesso
Gli isomorfismi sono applicazioni lineari invertibili, ovvero iniettive e suriettive, che stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra gli elementi degli spazi vettoriali coinvolti
Il nucleo di un'applicazione lineare è l'insieme dei vettori che vengono mappati nel vettore nullo
Il nucleo è un sottospazio vettoriale di dimensione chiamata nullità
L'immagine di un'applicazione lineare è l'insieme dei vettori che sono immagini di almeno un vettore dello spazio di partenza
L'immagine è un sottospazio vettoriale di dimensione chiamata rango
Il Teorema del Rango-Nullità stabilisce che la somma della nullità e del rango di un'applicazione lineare è uguale alla dimensione dello spazio di partenza
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Rappresentazione matriciale delle applicazioni lineari
Le applicazioni lineari finite-dimensionali si esprimono tramite matrici; le colonne corrispondono alle immagini dei vettori della base.
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Endomorfismi
Applicazioni lineari da uno spazio vettoriale a sé stesso; possono essere rappresentate da matrici quadrate.
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Isomorfismi
Applicazioni lineari invertibili che stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra spazi vettoriali.
