Applicazioni Lineari e loro Proprietà

Definizione e Proprietà delle Applicazioni Lineari

Le applicazioni lineari, note anche come trasformazioni lineari, sono particolari funzioni che operano tra spazi vettoriali e che preservano le operazioni di addizione di vettori e moltiplicazione per scalare. Una funzione \( f: V \rightarrow W \), dove \( V \) e \( W \) sono spazi vettoriali su un campo \( K \), è detta lineare se soddisfa le seguenti condizioni per ogni coppia di vettori \( u, v \in V \) e ogni scalare \( \alpha \in K \): \( f(u + v) = f(u) + f(v) \) e \( f(\alpha u) = \alpha f(u) \). Queste proprietà garantiscono che l'immagine di una combinazione lineare di vettori sotto \( f \) sia la combinazione lineare delle immagini dei vettori. Le applicazioni lineari possono essere rappresentate attraverso matrici quando gli spazi vettoriali hanno dimensione finita. In particolare, le colonne di una matrice che rappresenta una trasformazione lineare corrispondono alle immagini dei vettori della base dello spazio di partenza. Gli endomorfismi sono applicazioni lineari che mappano uno spazio vettoriale in sé stesso, e quando sono invertibili, ovvero quando sono sia iniettive che suriettive, sono chiamati isomorfismi, indicando che esiste una corrispondenza biunivoca tra gli elementi degli spazi vettoriali coinvolti.

Nucleo e Immagine di un'Applicazione Lineare

Il nucleo e l'immagine sono concetti fondamentali nello studio delle applicazioni lineari. Il nucleo di un'applicazione lineare \( f: V \rightarrow W \), indicato con \( \text{Ker}(f) \), è l'insieme di tutti i vettori in \( V \) che vengono mappati nel vettore nullo di \( W \). Formalmente, \( \text{Ker}(f) = \{ v \in V \mid f(v) = 0_W \} \), dove \( 0_W \) è il vettore zero di \( W \). Il nucleo è un sottospazio vettoriale di \( V \) e la sua dimensione è chiamata nullità di \( f \). L'immagine di \( f \), denotata con \( \text{Im}(f) \) o \( \text{Range}(f) \), è l'insieme di tutti i vettori in \( W \) che sono immagini di almeno un vettore in \( V \). In simboli, \( \text{Im}(f) = \{ f(v) \mid v \in V \} \). Anche l'immagine è un sottospazio vettoriale di \( W \) e la sua dimensione è detta rango di \( f \). Il Teorema del Rango-Nullità stabilisce una relazione importante tra queste due dimensioni: per un'applicazione lineare \( f \) da uno spazio vettoriale \( V \) di dimensione finita a uno spazio vettoriale \( W \), la somma della nullità di \( f \) e del rango di \( f \) è uguale alla dimensione di \( V \). Questo teorema è uno strumento essenziale per comprendere la struttura delle applicazioni lineari e per risolvere problemi relativi alla loro invertibilità e alla dimensione degli spazi coinvolti.