Gli integrali definiti sono fondamentali in matematica per calcolare aree sottese da curve e hanno applicazioni cruciali in fisica. La Somma di Riemann approssima queste aree, mentre il teorema fondamentale del calcolo integrale collega integrali definiti e indefiniti. Gli integrali impropri estendono questi concetti a funzioni con discontinuità o intervalli illimitati.
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L'integrale definito è uno strumento matematico per calcolare l'area sottesa da una curva
Suddivisione dell'intervallo
La Somma di Riemann consiste nel suddividere l'intervallo in sottointervalli di uguale ampiezza
Approssimazione dell'area
La Somma di Riemann approssima l'area sotto la curva tramite la somma delle aree di rettangoli con base e altezza opportune
Calcolando il limite della Somma di Riemann si ottiene l'integrale definito, che rappresenta l'area esatta sotto la curva
L'integrale definito rappresenta geometricamente l'area tra la curva, l'asse delle x e le rette verticali di integrazione
Linearità
Gli integrali definiti sono lineari, cioè la somma di due integrali è uguale all'integrale della somma delle funzioni
Additività
Gli integrali definiti sono additivi, cioè l'integrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni
Confronto delle aree
Gli integrali definiti possono essere utilizzati per confrontare le aree sottese da diverse funzioni
Il valore medio di una funzione continua su un intervallo è dato dalla media aritmetica dei valori che la funzione assume in almeno un punto dell'intervallo
Il teorema del valore medio per gli integrali garantisce l'esistenza di almeno un punto in un intervallo in cui l'area sotto la curva è uguale all'integrale definito diviso la lunghezza dell'intervallo
Una primitiva di una funzione è una funzione che ha come derivata la funzione stessa
L'integrale indefinito rappresenta l'insieme di tutte le primitive di una funzione
Il teorema fondamentale del calcolo integrale stabilisce che l'integrale definito può essere calcolato come la differenza tra due valori di una primitiva della funzione
Gli integrali impropri estendono il concetto di integrale a funzioni con discontinuità o intervalli di integrazione illimitati
Gli integrali sono fondamentali in fisica per descrivere fenomeni come il moto dei corpi e il flusso di carica elettrica
00
Definizione di integrale definito
Limite della Somma di Riemann per n che tende all'infinito, rappresenta l'area esatta sotto la curva di 𝑓(𝑥) da 𝑎 a 𝑏.
01
Somma di Riemann
Approssimazione dell'area sotto la curva tramite somma delle aree di rettangoli con base Δ𝑥 e altezza 𝑓(𝑐𝑖).
02
Calcolo di Δ𝑥 in Somma di Riemann
Ampiezza di ciascun sottointervallo, calcolata come (𝑏-𝑎)/n.
