La parabola

Definizione e proprietà geometriche della parabola

La parabola è una curva piana, definita come il luogo geometrico dei punti che sono equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, chiamata direttrice. L'asse della parabola è la retta perpendicolare alla direttrice che passa per il fuoco e rappresenta un asse di simmetria per la curva. Il vertice della parabola è il punto più vicino alla direttrice e si trova sull'asse; esso è equidistante dal fuoco e dalla direttrice. La distanza tra il fuoco e il vertice è detta "focale" e determina la "larghezza" della parabola.

Equazione della parabola nel piano cartesiano

L'equazione standard di una parabola con asse verticale (parallelo all'asse y) è y = ax^2 + bx + c, dove a, b e c sono coefficienti reali e a ≠ 0. Il vertice della parabola si trova nel punto V = (-b/2a, c - b^2/4a), mentre l'asse di simmetria è la retta x = -b/2a. Il fuoco ha coordinate F = (-b/2a, (1 - b^2 + 4ac)/4a) e la direttrice è la retta y = (1 + b^2 - 4ac)/4a. La concavità della parabola è verso l'alto se a > 0 e verso il basso se a < 0. L'apertura della parabola è inversamente proporzionale al valore assoluto di a: maggiore è |a|, più "stretta" è la parabola.

Caratteristiche del grafico della parabola

Il grafico di una parabola è determinato dai coefficienti a, b e c dell'equazione y = ax^2 + bx + c. Il coefficiente a stabilisce la concavità della parabola: se a > 0, la parabola si apre verso l'alto; se a < 0, si apre verso il basso. Il valore assoluto di a influisce sull'apertura della parabola, con un valore maggiore che corrisponde a una curva più "stretta". Il coefficiente b influenza la posizione orizzontale dell'asse di simmetria, mentre c indica l'ordinata del punto in cui la parabola interseca l'asse y. Parabole con lo stesso valore assoluto di a ma segno opposto sono simmetriche rispetto all'asse x.

Intersezione della parabola con gli assi cartesiani

L'intersezione della parabola con l'asse x è determinata dal discriminante Δ = b^2 - 4ac dell'equazione ax^2 + bx + c = 0. Se Δ > 0, ci sono due punti di intersezione distinti; se Δ = 0, la parabola è tangente all'asse x in un unico punto; se Δ < 0, non ci sono intersezioni reali con l'asse x. Il termine c dell'equazione indica l'ordinata del punto (o dei punti) in cui la parabola interseca l'asse y.

Parabole con asse parallelo all'asse x

Le parabole con asse orizzontale (parallelo all'asse x) hanno un'equazione della forma x = ay^2 + by + c, dove a ≠ 0. Queste parabole sono speculari rispetto alla bisettrice dei primi e terzi quadranti rispetto a quelle con asse verticale. Per determinare vertice, asse, fuoco e direttrice di queste parabole, si applicano le formule corrispondenti a quelle con asse verticale, scambiando x con y e viceversa.