Geometria e angoli
Mappa concettuale
Gli angoli in geometria sono porzioni di piano definite da due semirette con la stessa origine. Si classificano in acuti, retti, ottusi, piatti e giro a seconda dell'ampiezza. La bisettrice divide l'angolo in due parti uguali, mentre angoli complementari e supplementari hanno somme di 90° e 180° rispettivamente. La perpendicolarità e la congruenza degli angoli opposti al vertice sono concetti chiave.
Riassunto
Schema
Definizione e Classificazione degli Angoli
In geometria, un angolo è definito come la porzione di piano compresa tra due semirette che hanno la stessa origine, chiamata vertice. Gli angoli si classificano in base alla loro ampiezza in angoli acuti, retti, ottusi, piatti e giro. Un angolo acuto è minore di 90°, un angolo retto è esattamente 90°, un angolo ottuso è maggiore di 90° ma minore di 180°, un angolo piatto è esattamente 180°, e un angolo giro misura 360°. Per indicare un angolo si utilizzano tre lettere, con la lettera centrale che rappresenta il vertice, ad esempio ∠ABC. Gli angoli possono anche essere indicati con simboli come α, β, γ, o semplicemente con la lettera del vertice se non vi è ambiguità.Bisettrici e Tipologie di Angoli
La bisettrice di un angolo è la semiretta che, partendo dal vertice, lo divide in due angoli congruenti, cioè di uguale ampiezza. Ogni angolo ha una sola bisettrice. Gli angoli si differenziano ulteriormente in base alla loro ampiezza: un angolo retto misura 90°, un angolo acuto è minore di 90°, e un angolo ottuso è maggiore di 90° ma minore di 180°. Un angolo piatto, che misura 180°, è formato da due semirette opposte e divide il piano in due semipiani. Angoli che sommati danno un angolo retto sono detti complementari, mentre se la loro somma è un angolo piatto, sono detti supplementari.Misurazione degli Angoli e Unità di Misura
L'unità di misura principale per gli angoli è il grado sessagesimale, definito come la 360ª parte di un angolo giro. I sottomultipli del grado sono il primo (′) e il secondo (″), rispettivamente la sessantesima parte del grado e la sessantesima parte del primo. Per misurare gli angoli si utilizza uno strumento chiamato goniometro. Gli angoli principali hanno misure standard: l'angolo retto è di 90°, l'angolo piatto di 180° e l'angolo giro di 360°. Esistono anche altre unità di misura come il radiante, che è l'angolo al centro di un cerchio che intercetta un arco la cui lunghezza è uguale al raggio.Rette Perpendicolari e Oblique
Due rette si dicono perpendicolari se si incontrano formando quattro angoli retti. Il punto di incontro è detto piede della perpendicolare. Se le rette non sono perpendicolari e si intersecano formando angoli non retti, si definiscono oblique. La perpendicolarità è una relazione fondamentale in geometria, poiché stabilisce un riferimento per molte costruzioni geometriche e teoremi.Angoli Consecutivi, Adiacenti e Opposti al Vertice
Gli angoli consecutivi condividono un vertice e un lato, mentre gli angoli adiacenti, oltre a essere consecutivi, hanno i lati non comuni che si estendono in direzioni opposte formando un angolo piatto. Gli angoli opposti al vertice si formano quando due rette si intersecano e sono sempre congruenti, ovvero hanno la stessa ampiezza.Somma e Differenza di Angoli
La somma di due angoli si ottiene disponendoli affinché siano consecutivi e l'angolo risultante è compreso tra i lati estremi dei due angoli originali. La differenza tra due angoli si calcola sovrapponendo il minore al maggiore in modo che vertice e un lato coincidano; la parte non sovrapposta rappresenta la differenza. Questi concetti sono essenziali per la risoluzione di problemi geometrici e per la comprensione delle proprietà degli angoli.Multipli e Sottomultipli degli Angoli
Un angolo è definito multiplo di un altro se la sua ampiezza è esattamente divisibile per l'ampiezza dell'altro angolo senza resto, mentre l'angolo più piccolo è detto sottomultiplo. Un postulato fondamentale della geometria afferma che ogni angolo può essere diviso in un numero qualsiasi di angoli congruenti. Questo principio è alla base della divisibilità degli angoli e permette di effettuare costruzioni geometriche precise e di calcolare misure angolari con esattezza.
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Definizione degli angoli
Origine e vertice
Gli angoli sono definiti come la porzione di piano compresa tra due semirette che hanno la stessa origine, chiamata vertice
Classificazione degli angoli
Angoli acuti
Gli angoli acuti sono minori di 90°
Angoli retti
Gli angoli retti sono esattamente 90°
Angoli ottusi
Gli angoli ottusi sono maggiori di 90° ma minori di 180°
Angoli piatti
Gli angoli piatti sono esattamente 180°
Angoli giro
Gli angoli giro misurano 360°
Notazione degli angoli
Gli angoli possono essere indicati con tre lettere o con simboli come α, β, γ, o semplicemente con la lettera del vertice se non vi è ambiguità
Bisettrice e ampiezza degli angoli
Bisettrice
La bisettrice di un angolo è la semiretta che, partendo dal vertice, lo divide in due angoli congruenti
Classificazione degli angoli in base all'ampiezza
Angoli retti
Gli angoli retti misurano 90°
Angoli acuti
Gli angoli acuti sono minori di 90°
Angoli ottusi
Gli angoli ottusi sono maggiori di 90° ma minori di 180°
Angoli piatti
Gli angoli piatti sono esattamente 180° e dividono il piano in due semipiani
Unità di misura e strumenti per gli angoli
Unità di misura
L'unità di misura principale per gli angoli è il grado sessagesimale, definito come la 360ª parte di un angolo giro
Sottomultipli del grado
Primo
Il primo (′) è la sessantesima parte del grado
Secondo
Il secondo (″) è la sessantesima parte del primo
Strumenti per la misurazione degli angoli
Per misurare gli angoli si utilizza uno strumento chiamato goniometro
Relazioni e proprietà degli angoli
Perpendicolarità
Due rette si dicono perpendicolari se si incontrano formando quattro angoli retti
Obliquità
Se le rette non sono perpendicolari e si intersecano formando angoli non retti, si definiscono oblique
Importanza della perpendicolarità
La perpendicolarità è una relazione fondamentale in geometria, poiché stabilisce un riferimento per molte costruzioni geometriche e teoremi
Angoli consecutivi e adiacenti
Gli angoli consecutivi condividono un vertice e un lato, mentre gli angoli adiacenti hanno i lati non comuni che si estendono in direzioni opposte formando un angolo piatto
Angoli opposti al vertice
Gli angoli opposti al vertice si formano quando due rette si intersecano e sono sempre congruenti
Somma e differenza tra angoli
La somma di due angoli si ottiene disponendoli affinché siano consecutivi, mentre la differenza si calcola sovrapponendo il minore al maggiore
Geometria e angoli
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00
In geometria, lo spazio formato da due linee che partono dallo stesso punto, detto ______, si chiama angolo.
vertice
01
Un angolo ______ misura esattamente 90 gradi.
retto
02
Definizione di bisettrice
Semiretta che divide un angolo in due angoli congruenti.
