I polinomi sono espressioni matematiche composte da monomi e caratterizzate da operazioni come somma, sottrazione e moltiplicazione. Il loro studio include l'analisi del grado, la rappresentazione grafica e l'importanza dei prodotti notevoli con applicazioni geometriche.
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Un polinomio è una combinazione lineare di monomi, che sono i suoi termini
Riduzione e ordinamento dei termini
Un polinomio è in forma normale quando i suoi termini sono ridotti e ordinati secondo potenze decrescenti o crescenti di una data variabile
Assenza di termini simili
Un polinomio in forma normale non contiene termini simili, ovvero termini con le stesse variabili elevate alle stesse potenze
Monomi, binomi, trinomi e così via
I polinomi si distinguono in monomi (un solo termine), binomi (due termini), trinomi (tre termini), e così via
Ordine e completezza
Un polinomio si dice ordinato rispetto a una variabile se i suoi termini sono disposti secondo gli esponenti decrescenti di quella variabile, e completo se contiene tutte le potenze della variabile fino all'esponente zero
Un polinomio in una variabile definisce una funzione polinomiale, la quale associa a ogni valore reale della variabile un valore reale del polinomio, con dominio l'insieme dei numeri reali (R)
Nel caso di polinomi in più variabili, si parla di funzioni di più variabili, il cui dominio è il prodotto cartesiano R^n, dove n è il numero di variabili
La rappresentazione grafica di una funzione polinomiale è una curva nel piano cartesiano che mostra come il valore del polinomio varia al variare della variabile indipendente
La somma e la sottrazione di polinomi si effettuano combinando i termini simili, ossia quelli con le stesse potenze delle variabili
Proprietà distributiva
La moltiplicazione di polinomi si basa sulla proprietà distributiva, moltiplicando ciascun termine di un polinomio per ogni termine dell'altro e sommando poi i risultati
Chiusura dell'operazione
Il prodotto di due polinomi è un altro polinomio, e la moltiplicazione è un'operazione chiusa nell'insieme dei polinomi
La moltiplicazione di un monomio per un polinomio segue la stessa regola distributiva, risultando in un polinomio che è la somma dei prodotti del monomio per ogni termine del polinomio
Quadrato di un binomio
Il quadrato di un binomio è il risultato della somma dei quadrati dei singoli termini più il doppio del loro prodotto
Prodotto di una somma per una differenza
Il prodotto di una somma per una differenza è il risultato della differenza dei quadrati dei termini
Definizione
Il grado di un polinomio è il massimo esponente tra quelli delle variabili presenti nei suoi termini
Polinomi di grado diverso
Se un polinomio è composto da termini di grado diverso, il suo grado è quello del termine di grado più alto
Un polinomio si dice omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado totale, che è la somma degli esponenti di tutte le variabili in ogni termine
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Definizione di polinomio
Combinazione lineare di monomi, somma algebrica di termini che sono prodotti di coefficienti per potenze intere non negative di variabili.
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Classificazione dei polinomi per numero di termini
Monomi (1 termine), binomi (2 termini), trinomi (3 termini), polinomi con più termini.
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Polinomio ordinato e completo
Ordinato: termini disposti per esponenti decrescenti di una variabile. Completo: contiene tutte le potenze della variabile fino all'esponente zero.
