Operazioni aritmetiche
Mappa concettuale
L'aritmetica è la branca della matematica che si occupa delle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Queste operazioni sono essenziali per la comprensione dei concetti matematici di base e sono governate da proprietà fondamentali come la commutatività, l'associatività e la distributività. La corretta applicazione di queste proprietà è cruciale per il calcolo di espressioni aritmetiche complesse.
Riassunto
Schema
L'Addizione e le sue Proprietà Fondamentali
L'addizione è una delle operazioni basilari dell'aritmetica, che consiste nel combinare due o più quantità, note come addendi, per formare una somma totale. Ad esempio, se Alessio possiede 3 euro e ne riceve altri 6, la somma totale sarà di 9 euro, espressa dall'equazione 3 + 6 = 9. Questa operazione può essere visualizzata anche su una linea numerica, dove il movimento da un punto all'altro rappresenta l'aggregazione degli addendi. L'addizione è governata da due proprietà principali: la commutatività, che indica che l'ordine degli addendi non influisce sul risultato (per esempio, 2 + 3 + 8 = 3 + 2 + 8 = 13), e l'associatività, che consente di raggruppare gli addendi in modi differenti senza alterare la somma (per esempio, 9 + (15 + 5) = (9 + 15) + 5 = 29). È importante notare che l'addizione di numeri interi include anche la somma di numeri negativi, estendendo così il concetto al di là dei numeri naturali.La Sottrazione e la sua Proprietà Invariantiva
La sottrazione è un'operazione aritmetica che determina la differenza tra due numeri, il minuendo e il sottraendo, risultando in una differenza. Se, ad esempio, da un vassoio contenente 10 paste ne rimuoviamo 7, otteniamo una differenza di 3 paste. A differenza dell'addizione, la sottrazione non è commutativa, il che significa che l'ordine dei termini è cruciale. Inoltre, non è un'operazione chiusa nell'insieme dei numeri naturali, poiché può portare a risultati negativi. La sottrazione possiede la proprietà invariantiva: se aggiungiamo o sottraiamo lo stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo, la differenza non varia. Ad esempio, se Giulio ha 13 anni e Stefano 6, la differenza di età è di 7 anni, e questa rimarrà invariata anche se entrambi invecchiano di un certo numero di anni.La Moltiplicazione e le sue Proprietà
La moltiplicazione è l'operazione che combina due numeri, detti fattori, per ottenere un prodotto. Essa rappresenta un caso speciale di addizione ripetuta e viene utilizzata per semplificare l'addizione di più termini uguali. Per esempio, l'addizione ripetuta di 6 per tre volte, 6 + 6 + 6, è equivalente a 6 × 3 = 18. La moltiplicazione è caratterizzata da diverse proprietà: la commutatività, che stabilisce che l'ordine dei fattori non modifica il prodotto (5 × 12 = 12 × 5); l'associatività, che permette di raggruppare i fattori in modi differenti senza influenzare il risultato (4 × (3 × 2) = (4 × 3) × 2); e la distributività rispetto all'addizione e alla sottrazione, che consente di moltiplicare un numero per una somma o una differenza scomponendo l'operazione in più fasi (ad esempio, 2 × (4 + 5 - 3) = (2 × 4) + (2 × 5) - (2 × 3)).La Divisione e le sue Proprietà
La divisione è l'operazione che suddivide un numero, il dividendo, per un altro, il divisore, risultando in un quoziente. Se dividiamo 12 ciambelle tra 3 persone, ciascuna riceverà 4 ciambelle, come mostrato dall'operazione 12 ÷ 3 = 4. La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione e presenta la proprietà invariantiva: se moltiplichiamo o dividiamo sia il dividendo sia il divisore per lo stesso numero non nullo, il quoziente rimane inalterato (ad esempio, (20 × 3) ÷ (4 × 3) = 60 ÷ 12 = 5). Inoltre, la divisione gode della proprietà distributiva rispetto all'addizione e alla sottrazione, che permette di dividere separatamente i termini di una somma o differenza per un numero e poi sommare o sottrarre i quozienti risultanti (ad esempio, (14 + 35 - 28) ÷ 7 = (14 ÷ 7) + (35 ÷ 7) - (28 ÷ 7)).Espressioni Aritmetiche e il loro Calcolo
Le espressioni aritmetiche sono combinazioni di numeri e operazioni che devono essere risolte seguendo una gerarchia precisa. Per calcolare il valore di un'espressione contenente solo addizioni e sottrazioni, si procede eseguendo le operazioni nell'ordine in cui appaiono. Quando un'espressione include parentesi, queste indicano che le operazioni interne devono essere eseguite per prime, seguendo la gerarchia delle parentesi tonde, quadre e graffe. Questo ordine sistematico è fondamentale per risolvere espressioni più complesse che includono moltiplicazioni e divisioni, oltre alle addizioni e sottrazioni. La regola generale prevede di eseguire prima moltiplicazioni e divisioni, e poi addizioni e sottrazioni, rispettando l'ordine stabilito dalle parentesi.
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Addizione
Definizione
L'operazione che combina due o più quantità per formare una somma totale
Proprietà
Commutatività
L'ordine degli addendi non influisce sul risultato
Associatività
Gli addendi possono essere raggruppati in modi differenti senza alterare la somma
Esempi
Se Alessio possiede 3 euro e ne riceve altri 6, la somma totale sarà di 9 euro
Sottrazione
Definizione
L'operazione che determina la differenza tra due numeri
Proprietà
Non commutatività
L'ordine dei termini è cruciale
Invariantiva
Aggiungendo o sottraendo lo stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo, la differenza non varia
Esempi
Se da un vassoio contenente 10 paste ne rimuoviamo 7, otteniamo una differenza di 3 paste
Moltiplicazione
Definizione
L'operazione che combina due numeri per ottenere un prodotto
Proprietà
Commutatività
L'ordine dei fattori non modifica il prodotto
Associatività
I fattori possono essere raggruppati in modi differenti senza influenzare il risultato
Distributività
Consente di moltiplicare un numero per una somma o una differenza scomponendo l'operazione in più fasi
Esempi
L'addizione ripetuta di 6 per tre volte, 6 + 6 + 6, è equivalente a 6 × 3 = 18
Divisione
Definizione
L'operazione che suddivide un numero per un altro, risultando in un quoziente
Proprietà
Invariantiva
Moltiplicando o dividendo sia il dividendo sia il divisore per lo stesso numero non nullo, il quoziente rimane inalterato
Distributività
Consente di dividere separatamente i termini di una somma o differenza per un numero e poi sommare o sottrarre i quozienti risultanti
Esempi
Se dividiamo 12 ciambelle tra 3 persone, ciascuna riceverà 4 ciambelle
Operazioni aritmetiche
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00
L'______ è un'operazione aritmetica fondamentale che unisce due o più numeri, detti ______, per ottenere un totale.
addizione
addendi
01
Se Alessio ha 3 euro e ne guadagna altri 6, avrà un totale di ______ euro, come mostrato dall'equazione ______ + ______ = ______.
9
3
6
9
02
Definizione di sottrazione
Operazione aritmetica per calcolare la differenza tra minuendo e sottraendo.
