La Programmazione Lineare (PL)
La Programmazione Lineare è essenziale nell'ottimizzazione matematica per massimizzare o minimizzare funzioni obiettivo. Questa disciplina utilizza modelli matematici basati su condizioni di divisibilità, certezza, linearità, proporzionalità e additività, permettendo di risolvere problemi complessi in vari campi come economia e ingegneria.
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Fondamenti della Programmazione Lineare
La Programmazione Lineare (PL) è una branca dell'ottimizzazione matematica che si occupa di massimizzare o minimizzare una funzione obiettivo lineare, rispettando un insieme di vincoli anch'essi lineari. Un problema di PL è rappresentabile attraverso un modello matematico se rispetta alcune condizioni fondamentali: la divisibilità, che consente alle variabili di assumere qualsiasi valore reale; la certezza, che implica la conoscenza a priori di tutti i coefficienti e i parametri del modello; la linearità, che assicura che tutte le relazioni tra le variabili siano lineari; la proporzionalità, che garantisce che il contributo di ogni variabile alla funzione obiettivo sia direttamente proporzionale al suo valore; e l'additività, che permette di sommare i contributi individuali delle variabili senza interazioni. Queste ipotesi semplificano la realtà ma permettono di modellare una vasta gamma di problemi pratici in modo efficace.Struttura e Notazione di un Modello di Programmazione Lineare
Un modello di PL è composto da una funzione obiettivo lineare, che rappresenta il criterio di ottimizzazione, e da un insieme di vincoli, anch'essi lineari, che definiscono la regione ammissibile delle soluzioni. La funzione obiettivo è una combinazione lineare delle variabili decisionali, indicate con il vettore x. I vincoli sono rappresentati da una matrice A, che contiene i coefficienti delle variabili, e da un vettore b, che rappresenta i termini noti. La regione ammissibile è l'insieme di tutte le soluzioni che soddisfano i vincoli, e la soluzione ottimale è il vettore x che ottimizza la funzione obiettivo all'interno di questa regione.Concetti Chiave nella Risoluzione di Problemi di PL
Nell'ambito della PL, è importante comprendere alcuni concetti chiave. L'isoipsa è una curva di livello che rappresenta i punti che attribuiscono lo stesso valore alla funzione obiettivo. La direzione di massimo miglioramento è indicata dal gradiente della funzione obiettivo in un problema di massimizzazione, o dall'opposto del gradiente in un problema di minimizzazione. I vincoli possono essere classificati come attivi, inattivi o ridondanti a seconda che siano rispettati all'uguaglianza, non siano vincolanti o non influenzino la soluzione. La soluzione ottimale si trova sempre su un vertice o su un bordo della regione ammissibile, che è definita dall'intersezione dei vincoli.Ottimizzazione Convessa e Programmazione Lineare
La PL è un caso speciale di ottimizzazione convessa, caratterizzata da una funzione obiettivo e una regione ammissibile entrambe convesse. Questo significa che ogni minimo locale è anche un minimo globale e che le soluzioni ottime, se esistono, si trovano ai vertici o sui bordi della regione ammissibile, che è un poliedro convesso. La convessità della regione ammissibile è garantita dall'intersezione di semispazi definiti dai vincoli lineari, che sono anch'essi convessi.Soluzioni e Proprietà dei Problemi di Programmazione Lineare
Un problema di PL può presentare diverse tipologie di soluzioni: può essere ammissibile con una o più soluzioni ottime finite, può essere inammissibile se non esistono soluzioni che soddisfano i vincoli, o può essere illimitato se la funzione obiettivo può crescere indefinitamente. Nella pratica, la maggior parte dei problemi di ottimizzazione presenta almeno una soluzione ottima finita. Le soluzioni ottime possono essere uniche o multiple; nel caso di molteplicità, esse formano un insieme convesso che può essere sia limitato che illimitato.Equivalenza e Trasformazioni nei Problemi di Programmazione Lineare
Due problemi di PL sono considerati equivalenti se conducono allo stesso insieme di soluzioni ottime o se non presentano soluzioni. È possibile trasformare un problema di PL in una forma equivalente attraverso operazioni standard come il cambio di segno dei coefficienti della funzione obiettivo, l'introduzione di variabili di slack o surplus per trasformare disuguaglianze in equazioni, e la sostituzione di variabili libere con variabili non negative. Un problema di PL può essere formulato in forma generale o standard, e ogni problema può essere convertito da una forma all'altra mediante queste trasformazioni.Vuoi creare mappe dal tuo materiale?
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La ______ Lineare è un ramo dell'ottimizzazione matematica che mira a ______ o ______ una funzione obiettivo, seguendo vincoli lineari.
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Per essere rappresentato come modello matematico, un problema di PL deve soddisfare la ______, la ______, e altre condizioni.
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Funzione obiettivo in PL
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Vincoli in PL
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5
Regione ammissibile
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6
In programmazione lineare, l'______ rappresenta i punti con lo stesso valore per la funzione obiettivo.
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La direzione che indica il miglioramento massimo in un problema di massimizzazione è data dal ______ della funzione obiettivo.
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8
In un problema di minimizzazione, la direzione per il miglioramento massimo è l'______ del gradiente della funzione obiettivo.
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9
I vincoli in programmazione lineare possono essere ______, ______ o ______, a seconda della loro relazione con la soluzione.
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La soluzione ______ di un problema di programmazione lineare si trova su un vertice o su un bordo della regione definita dall'intersezione dei vincoli.
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Caratteristica dei minimi in PL
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Ogni minimo locale è anche globale a causa della convessità della funzione obiettivo e della regione ammissibile.
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Ubicazione soluzioni ottime in PL
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13
Se un problema di ottimizzazione non ha soluzioni che rispettano i vincoli, viene considerato ______.
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14
Quando la funzione obiettivo di un problema di PL può aumentare senza limiti, il problema è detto ______.
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15
Nella pratica, è comune che i problemi di ______ abbiano almeno una soluzione ottima ______.
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16
Le soluzioni ottime di un problema di PL possono essere ______ o ______.
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17
In caso di soluzioni ottime multiple, queste formano un insieme ______ che può essere limitato o ______.
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18
Operazioni standard per trasformare PL
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19
Forma generale vs forma standard di PL
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20
Conversione forma generale in standard
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Q&A
Ecco un elenco delle domande più frequenti su questo argomento
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