Funzioni matematiche
Le funzioni matematiche stabiliscono relazioni tra insiemi, associando elementi di un dominio a un codominio. Scopri dominio, codominio, variabili dipendenti e indipendenti, funzioni polinomiali e il principio di identità dei polinomi. Approfondisci le caratteristiche delle funzioni biunivoche e la loro classificazione in base a iniettività e suriettività.
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Definizione e Modalità di Rappresentazione delle Funzioni
Una funzione è una relazione matematica tra due insiemi, detti insieme di partenza o dominio e insieme di arrivo o codominio, che associa ad ogni elemento del dominio esattamente un elemento del codominio. Le funzioni possono essere rappresentate in vari modi: algebricamente, mediante una formula matematica; numericamente, attraverso una tabella di valori; e graficamente, con un diagramma cartesiano. Ad esempio, l'area (A) di un quadrato è una funzione della lunghezza del suo lato (l), espressa dalla formula A = l^2. Un esempio di rappresentazione numerica è una tabella che mostra il numero di persone occupate in Italia per ciascun anno. Graficamente, la relazione tra la densità dell'acqua e la temperatura può essere illustrata con un grafico che mostra come la densità varia al variare della temperatura.Dominio e Codominio nelle Funzioni Reali di Variabile Reale
Le funzioni reali di variabile reale sono quelle funzioni il cui dominio e codominio sono sottoinsiemi dei numeri reali. Il dominio è l'insieme di tutti i valori per cui la funzione è definita, mentre il codominio è l'insieme di tutti i possibili valori che la funzione può assumere. La funzione f(x) = x^2 - 2x + 2, ad esempio, ha come dominio l'intero insieme dei numeri reali, in quanto per ogni numero reale è possibile calcolare il valore di f(x). Tuttavia, il dominio può essere limitato in funzioni come g(x) = 1/(x-1), dove x non può essere 1 per evitare la divisione per zero. Pertanto, il dominio di g(x) è l'insieme dei numeri reali escluso il numero 1.Variabili Dipendenti e Indipendenti nelle Funzioni
In una funzione, le variabili svolgono ruoli distinti: la variabile indipendente, generalmente indicata con x, è quella che può essere scelta liberamente all'interno del dominio, mentre la variabile dipendente, solitamente indicata con y, è il risultato dell'applicazione della regola della funzione alla variabile indipendente. Nell'esempio della funzione y = 2x - 4, se si sceglie x = 1, allora y sarà -2, mentre se x = 10, y sarà 16. La variabile dipendente y dipende quindi dal valore scelto per la variabile indipendente x.Funzioni Polinomiali e Principio di Identità dei Polinomi
Le funzioni polinomiali sono definite da un polinomio della variabile indipendente. Un polinomio è un'espressione matematica costituita da somme di termini, ciascuno dei quali è un prodotto di un numero reale, detto coefficiente, e una potenza non negativa della variabile. Il dominio di una funzione polinomiale è l'insieme dei numeri reali. Il principio di identità dei polinomi stabilisce che se due polinomi sono uguali per ogni valore nel loro dominio comune, allora essi sono identici, ovvero hanno lo stesso grado e coefficienti corrispondenti uguali.Funzioni Biunivoche e Classificazione delle Funzioni
Una funzione biunivoca, o biiettiva, è una funzione che è sia iniettiva, ovvero non associa lo stesso elemento del codominio a più elementi del dominio, sia suriettiva, ovvero il suo codominio è esattamente l'immagine del dominio. In altre parole, ogni elemento del codominio è immagine di un unico elemento del dominio. Le funzioni possono essere classificate in base a queste proprietà: una funzione è iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte nel codominio; è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio; è biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva, e quindi stabilisce una corrispondenza uno-a-uno tra gli elementi del dominio e quelli del codominio.Vuoi creare mappe dal tuo materiale?
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Definizione di funzione
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Dominio e Codominio
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Esempio di funzione algebrica
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Le funzioni con dominio e codominio composti da ______ si chiamano funzioni reali di variabile reale.
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5
La funzione f(x) = x^2 - 2x + 2 ha come dominio ______.
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6
Nella funzione g(x) = 1/(x-1), il valore di x non può essere ______ per evitare la divisione per zero.
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7
Il dominio di g(x) è l'insieme dei numeri reali ______ il numero 1.
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8
Esempio di funzione lineare
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9
Calcolo valore di y per x = 1
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10
Calcolo valore di y per x = 10
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11
Le funzioni ______ sono determinate da un'espressione matematica che include somme di termini con potenze non negative.
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12
Il ______ di una funzione polinomiale comprende tutti i numeri ______.
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13
Se due polinomi risultano equivalenti per ogni valore nel loro dominio, allora hanno lo stesso ______ e ______ uguali.
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14
Un termine di un polinomio è composto da un numero ______ moltiplicato per una potenza della variabile.
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15
Funzione iniettiva
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16
Funzione suriettiva
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Corrispondenza uno-a-uno
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Q&A
Ecco un elenco delle domande più frequenti su questo argomento
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