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Funzioni matematiche

Le funzioni matematiche stabiliscono relazioni tra insiemi, associando elementi di un dominio a un codominio. Scopri dominio, codominio, variabili dipendenti e indipendenti, funzioni polinomiali e il principio di identità dei polinomi. Approfondisci le caratteristiche delle funzioni biunivoche e la loro classificazione in base a iniettività e suriettività.

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1

Definizione di funzione

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Relazione tra due insiemi che associa ad ogni elemento del dominio un unico elemento del codominio.

2

Dominio e Codominio

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Dominio: insieme di partenza di una funzione. Codominio: insieme di arrivo.

3

Esempio di funzione algebrica

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Area quadrato: A(l) = l^2, dove l è la lunghezza del lato.

4

Le funzioni con dominio e codominio composti da ______ si chiamano funzioni reali di variabile reale.

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sottoinsiemi dei numeri reali

5

La funzione f(x) = x^2 - 2x + 2 ha come dominio ______.

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l'intero insieme dei numeri reali

6

Nella funzione g(x) = 1/(x-1), il valore di x non può essere ______ per evitare la divisione per zero.

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1

7

Il dominio di g(x) è l'insieme dei numeri reali ______ il numero 1.

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escluso

8

Esempio di funzione lineare

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y = 2x - 4 è una funzione lineare con pendenza 2 e intercetta -4.

9

Calcolo valore di y per x = 1

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Sostituendo x con 1, y = 2*1 - 4, quindi y = -2.

10

Calcolo valore di y per x = 10

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Sostituendo x con 10, y = 2*10 - 4, quindi y = 16.

11

Le funzioni ______ sono determinate da un'espressione matematica che include somme di termini con potenze non negative.

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polinomiali

12

Il ______ di una funzione polinomiale comprende tutti i numeri ______.

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dominio reali

13

Se due polinomi risultano equivalenti per ogni valore nel loro dominio, allora hanno lo stesso ______ e ______ uguali.

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grado coefficienti

14

Un termine di un polinomio è composto da un numero ______ moltiplicato per una potenza della variabile.

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reale

15

Funzione iniettiva

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Ogni elemento del dominio ha immagine unica nel codominio.

16

Funzione suriettiva

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Ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.

17

Corrispondenza uno-a-uno

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Ogni elemento del dominio corrisponde a un unico elemento del codominio e viceversa.

Q&A

Ecco un elenco delle domande più frequenti su questo argomento

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Definizione e Modalità di Rappresentazione delle Funzioni

Una funzione è una relazione matematica tra due insiemi, detti insieme di partenza o dominio e insieme di arrivo o codominio, che associa ad ogni elemento del dominio esattamente un elemento del codominio. Le funzioni possono essere rappresentate in vari modi: algebricamente, mediante una formula matematica; numericamente, attraverso una tabella di valori; e graficamente, con un diagramma cartesiano. Ad esempio, l'area (A) di un quadrato è una funzione della lunghezza del suo lato (l), espressa dalla formula A = l^2. Un esempio di rappresentazione numerica è una tabella che mostra il numero di persone occupate in Italia per ciascun anno. Graficamente, la relazione tra la densità dell'acqua e la temperatura può essere illustrata con un grafico che mostra come la densità varia al variare della temperatura.
Sfere colorate in gradazione dal rosso al blu disposte a formare una curva tridimensionale che simula un grafico di funzione matematica.

Dominio e Codominio nelle Funzioni Reali di Variabile Reale

Le funzioni reali di variabile reale sono quelle funzioni il cui dominio e codominio sono sottoinsiemi dei numeri reali. Il dominio è l'insieme di tutti i valori per cui la funzione è definita, mentre il codominio è l'insieme di tutti i possibili valori che la funzione può assumere. La funzione f(x) = x^2 - 2x + 2, ad esempio, ha come dominio l'intero insieme dei numeri reali, in quanto per ogni numero reale è possibile calcolare il valore di f(x). Tuttavia, il dominio può essere limitato in funzioni come g(x) = 1/(x-1), dove x non può essere 1 per evitare la divisione per zero. Pertanto, il dominio di g(x) è l'insieme dei numeri reali escluso il numero 1.

Variabili Dipendenti e Indipendenti nelle Funzioni

In una funzione, le variabili svolgono ruoli distinti: la variabile indipendente, generalmente indicata con x, è quella che può essere scelta liberamente all'interno del dominio, mentre la variabile dipendente, solitamente indicata con y, è il risultato dell'applicazione della regola della funzione alla variabile indipendente. Nell'esempio della funzione y = 2x - 4, se si sceglie x = 1, allora y sarà -2, mentre se x = 10, y sarà 16. La variabile dipendente y dipende quindi dal valore scelto per la variabile indipendente x.

Funzioni Polinomiali e Principio di Identità dei Polinomi

Le funzioni polinomiali sono definite da un polinomio della variabile indipendente. Un polinomio è un'espressione matematica costituita da somme di termini, ciascuno dei quali è un prodotto di un numero reale, detto coefficiente, e una potenza non negativa della variabile. Il dominio di una funzione polinomiale è l'insieme dei numeri reali. Il principio di identità dei polinomi stabilisce che se due polinomi sono uguali per ogni valore nel loro dominio comune, allora essi sono identici, ovvero hanno lo stesso grado e coefficienti corrispondenti uguali.

Funzioni Biunivoche e Classificazione delle Funzioni

Una funzione biunivoca, o biiettiva, è una funzione che è sia iniettiva, ovvero non associa lo stesso elemento del codominio a più elementi del dominio, sia suriettiva, ovvero il suo codominio è esattamente l'immagine del dominio. In altre parole, ogni elemento del codominio è immagine di un unico elemento del dominio. Le funzioni possono essere classificate in base a queste proprietà: una funzione è iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte nel codominio; è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio; è biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva, e quindi stabilisce una corrispondenza uno-a-uno tra gli elementi del dominio e quelli del codominio.