Operazioni con le Frazioni

Moltiplicazione e Divisione delle Frazioni

La moltiplicazione di frazioni si effettua moltiplicando i numeratori per ottenere il nuovo numeratore e i denominatori per ottenere il nuovo denominatore. Ad esempio, moltiplicando 1/2 per 3/5, si calcola 1×3/2×5, ottenendo 3/10. Se si moltiplica una frazione per un numero intero, si moltiplica il numeratore per tale numero, lasciando inalterato il denominatore; per esempio, 5/4 moltiplicato per 3 dà come risultato 15/4. La divisione di frazioni, invece, richiede di moltiplicare la prima frazione per l'inverso della seconda. Ad esempio, dividendo 3/4 per 2/5, si moltiplica 3/4 per 5/2, ottenendo 15/8.

Addizione e Sottrazione di Frazioni con Denominatori Diversi

Per sommare o sottrarre frazioni con denominatori diversi, è necessario trovare un denominatore comune, preferibilmente il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori. Dopo aver convertito le frazioni in frazioni equivalenti con il denominatore comune, si procede con l'addizione o la sottrazione dei numeratori. Ad esempio, per sommare 1/6 e 1/3, si trasformano le frazioni in 1/6 e 2/6, e sommando i numeratori si ottiene 3/6, che semplificata diventa 1/2.

Addizione e Sottrazione di Frazioni con Denominatori Uguali

L'addizione e la sottrazione di frazioni con lo stesso denominatore sono operazioni dirette: si sommano o sottraggono i numeratori, mantenendo invariato il denominatore. Per esempio, sommando 3/14 a 9/14, si ottiene 12/14, che semplificata diventa 6/7. Questo procedimento è identico per la sottrazione.

Semplificazione delle Frazioni

Semplificare una frazione significa ridurla ai termini più semplici, dividendo numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore (M.C.D.). Una frazione è ai minimi termini quando numeratore e denominatore sono coprimi, cioè non hanno altri divisori comuni oltre all'unità. Ad esempio, la frazione 90/132 può essere semplificata a 15/22 dividendo entrambi i termini per 6, il loro M.C.D.

Frazioni Equivalenti

Frazioni equivalenti sono frazioni che esprimono lo stesso valore, nonostante differiscano nei numeratori e nei denominatori. Per esempio, 1/2, 2/4 e 3/6 sono tutte frazioni equivalenti. Per trovare frazioni equivalenti, si può moltiplicare o dividere numeratore e denominatore per lo stesso numero intero non nullo.

I Numeri Razionali e le Frazioni

I numeri razionali sono esprimibili come il rapporto di due interi, con il denominatore diverso da zero, e sono rappresentabili su una retta numerica. Le frazioni sono una forma di rappresentazione dei numeri razionali e si classificano in proprie, improprie o apparenti. Una frazione propria ha un numeratore minore del denominatore, una impropria ha un numeratore maggiore o uguale al denominatore, e una apparente ha un numeratore che è un multiplo esatto del denominatore, corrispondendo a un numero intero. Esistono anche frazioni complementari, la cui somma è pari a 1, e frazioni inverse, dove il numeratore di una è il denominatore dell'altra e viceversa.

Potenze di Frazioni

Per elevare una frazione a una potenza, si elevano a quella potenza sia il numeratore sia il denominatore. Se l'esponente è negativo, la frazione viene invertita e l'esponente diventa positivo. Una frazione elevata a zero è sempre uguale a uno. Le proprietà delle potenze, come il prodotto e il quoziente di potenze con la stessa base o lo stesso esponente, si applicano anche alle frazioni, facilitando la semplificazione e la manipolazione di espressioni che le includono.