Fundamentos del Método Simplex en Programación Lineal
El Método Simplex es una herramienta algorítmica clave en Programación Lineal, creada por George Dantzig en 1947, para optimizar funciones lineales bajo restricciones. Este método permite encontrar soluciones óptimas, ya sea maximizando o minimizando, sin revisar todos los vértices del espacio factible, que es un poliedro convexo. Se clasifican las soluciones en básicas y no básicas, y se utilizan criterios de entrada y salida para iterar hacia la solución óptima, garantizando la factibilidad y evitando ciclos degenerados.
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El Método Simplex, ideado por George Dantzig en 1947, es un procedimiento algorítmico fundamental para resolver problemas de Programación Lineal, que consisten en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo lineal sujeta a restricciones lineales. La solución óptima, si existe, se localiza en uno de los vértices del espacio de soluciones factibles, que es un poliedro convexo. Para aplicar el Método Simplex, las restricciones se expresan en forma estándar, añadiendo variables de holgura para convertir desigualdades en igualdades. Este método es eficaz y evita la revisión exhaustiva de todos los vértices del espacio de soluciones, lo cual es especialmente valioso en problemas de gran escala.Clasificación de Soluciones en Programación Lineal
Las soluciones en Programación Lineal se dividen en básicas y no básicas. Una solución básica se obtiene asignando el valor cero a las variables no básicas y resolviendo el sistema resultante para las variables básicas. Las soluciones básicas son factibles si todas las variables básicas son no negativas y degeneradas si una o más de estas variables son cero. Cada solución básica factible corresponde a un vértice del espacio factible, aunque puede haber más de una representación en casos de degeneración. El Método Simplex explora estas soluciones básicas factibles, moviéndose de vértice en vértice, para hallar la solución óptima.Iteraciones del Algoritmo Simplex
El algoritmo Simplex inicia con una solución básica factible y procede iterativamente, desplazándose entre vértices adyacentes del poliedro factible para mejorar el valor de la función objetivo. En cada paso, se elige una variable no básica con un coste reducido positivo para que entre en la base, lo que puede incrementar el valor de la función objetivo en problemas de maximización. Paralelamente, se selecciona una variable básica para salir de la base y mantener la factibilidad de la solución. El proceso continúa hasta que no se pueden obtener mejoras en la función objetivo, lo que indica que se ha alcanzado la solución óptima o que el problema es no factible o no acotado.Criterios de Entrada y Salida en el Método Simplex
La selección de la variable que entra en la base durante el Método Simplex se realiza evaluando los costes reducidos, que reflejan el cambio en la función objetivo por cada unidad incrementada en la variable no básica. La variable con el mayor coste reducido positivo es la elegida en problemas de maximización. La variable básica que sale se determina por el mínimo ratio entre el valor actual de las variables básicas y los coeficientes de la variable entrante en la fila correspondiente, asegurando que la solución permanezca factible. Este criterio se conoce como la regla del mínimo ratio.Condiciones de Optimalidad y Terminación del Método Simplex
El Método Simplex está diseñado para alcanzar una solución óptima o concluir la inexistencia de solución en un número finito de pasos, salvo en casos de ciclos con soluciones degeneradas, para los cuales se aplican estrategias de prevención. La optimalidad se logra cuando todos los costes reducidos son no positivos en problemas de maximización, indicando que no hay mejoras adicionales posibles. Al concluir, el algoritmo habrá determinado una solución óptima única, múltiples soluciones óptimas, la no factibilidad del problema o su no acotación.¿Quieres crear mapas a partir de tu material?
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1
Para resolver las restricciones de un problema, el Método Simplex las transforma en forma ______, agregando ______ para cambiar desigualdades por igualdades.
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2
Definición de solución básica
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3
Características de soluciones básicas factibles
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4
Funcionamiento del Método Simplex
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5
Durante cada iteración, se elige una variable con coste reducido ______ para incluirla en la base y posiblemente aumentar el valor en problemas de ______.
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6
Para mantener la viabilidad de la solución, se retira una variable ______ de la base mientras se realiza el proceso iterativo.
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7
El método procede hasta que no hay mejoras en la función objetivo, indicando una solución ______ o un problema no factible o ______.
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8
Costes reducidos en el Método Simplex
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9
Criterio de selección para maximización
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10
Regla del mínimo ratio
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11
El Método ______ busca una solución óptima o determinar la ausencia de solución en un número ______ de pasos.
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12
Si el Método Simplex concluye, puede resultar en una solución óptima ______, múltiples soluciones óptimas, o la no ______ del problema.
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13
Para evitar ciclos con soluciones degeneradas en el Método Simplex, se utilizan estrategias de ______.
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14
El algoritmo puede también concluir que el problema es no ______, si no se encuentra una solución óptima.
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