Estimación Puntual

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La estimación puntual en estadística es clave para inferir valores de parámetros poblacionales desconocidos. Se destacan métodos como la máxima verosimilitud, que busca el valor más probable para la muestra observada, y el método de los momentos, basado en la igualdad entre momentos muestrales y poblacionales. Estos procedimientos son fundamentales para obtener estimaciones confiables y precisas en el análisis estadístico.

Resumen

Esquema

Fundamentos de la Estimación Puntual en Estadística

La estimación puntual es un procedimiento estadístico que se emplea para inferir el valor más probable de un parámetro poblacional desconocido a partir de los datos obtenidos de una muestra. Este enfoque es esencial en la inferencia estadística, ya que proporciona una estimación única que se considera la mejor aproximación del parámetro de interés. Los métodos de estimación puntual se diseñan para satisfacer ciertas propiedades deseables, como la insesgadez, consistencia y eficiencia, con el fin de asegurar estimadores confiables y precisos. Entre los métodos más utilizados se encuentran la estimación por máxima verosimilitud, el método de los momentos y el método de mínimos cuadrados, cada uno con sus ventajas y contextos de aplicación específicos.

Mano enguantada con guante de látex blanco mide el diámetro de una esfera metálica con un calibrador vernier de acero inoxidable en un entorno de laboratorio.

Estimación por Máxima Verosimilitud

La estimación por máxima verosimilitud es un método ampliamente reconocido por su eficacia en la estimación puntual. Consiste en elegir el valor del parámetro desconocido que hace más probable la muestra observada. La función de verosimilitud, que representa la probabilidad conjunta de la muestra dada un valor del parámetro, es la herramienta central en este método. A diferencia de la función de densidad, que considera la muestra como variable y el parámetro como fijo, la función de verosimilitud fija la muestra y varía el parámetro. El objetivo es hallar el valor del parámetro que maximiza esta función, resultando en el estimador de máxima verosimilitud, que puede ser único o múltiple dependiendo de la situación.

Propiedades de los Estimadores Máximo Verosímiles

Los estimadores de máxima verosimilitud presentan propiedades estadísticas valiosas. Aunque no siempre son insesgados, tienden a serlo cuando el tamaño de la muestra es grande (insesgadez asintótica). Son consistentes, convergiendo al valor real del parámetro a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Si existe un estimador con la varianza más baja posible, conocida como la Cota de Cramer-Rao, el estimador de máxima verosimilitud será el más eficiente en el sentido de tener la menor varianza posible. Además, son asintóticamente normales, lo que simplifica la realización de pruebas estadísticas. Aunque no siempre son suficientes, si existe un estimador suficiente, el estimador de máxima verosimilitud será una función de este, lo que facilita su cálculo.

El Método de los Momentos

El método de los momentos, desarrollado por Karl Pearson, es uno de los métodos más antiguos para la estimación puntual. Se fundamenta en la idea de que los momentos muestrales deben ser representativos de los momentos poblacionales. Por ende, se establece una igualdad entre los momentos de la distribución de la población y los momentos calculados a partir de la muestra. Este método se sustenta en el Teorema de Khintchine, que garantiza la consistencia de los momentos muestrales como estimadores de los momentos poblacionales. Aunque los estimadores de momentos no son necesariamente insesgados, son consistentes y, en ciertas condiciones, pueden ser insesgados y asintóticamente normales.

Comparación entre Estimadores Máximo Verosímiles y de Momentos

Al comparar los estimadores de máxima verosimilitud con los de momentos, ambos pueden ser consistentes y asintóticamente insesgados. No obstante, los estimadores de máxima verosimilitud suelen ser más eficientes, es decir, presentan una menor varianza. Los estimadores de momentos son especialmente útiles cuando los parámetros de interés son los momentos poblacionales. La elección entre uno y otro método dependerá de las particularidades del problema estadístico en cuestión y de las propiedades deseadas para el estimador.

Método de Mínimos Cuadrados y Métodos de Remuestreo

El método de mínimos cuadrados es frecuentemente utilizado en análisis de regresión y busca minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados y los estimados. Por otro lado, los métodos de remuestreo, como el Jackknife y el Bootstrap, son técnicas que no requieren suposiciones específicas sobre la población y se basan en la generación de muestras a partir de una muestra inicial. El método Jackknife elimina una observación a la vez para crear muestras artificiales, mientras que Bootstrap emplea remuestreo con reemplazo para producir numerosas muestras. Estos métodos son útiles para realizar inferencias estadísticas en situaciones donde las suposiciones tradicionales no se cumplen o son difíciles de verificar.