L'algebra lineare studia spazi vettoriali e sottospazi, esplorando concetti come dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensioni. Questi principi sono cruciali per comprendere la struttura e le proprietà degli spazi vettoriali, influenzando vari ambiti della matematica e delle scienze applicate.
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La somma di due sottospazi vettoriali è l'insieme di tutti i vettori ottenuti sommando un vettore di uno sottospazio con uno dell'altro
La somma diretta di due sottospazi vettoriali è un sottospazio che contiene entrambi i sottospazi e in cui ogni vettore può essere scritto in modo unico come somma di un vettore del primo sottospazio e uno del secondo
La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di vettori in una base, che è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio vettoriale
Un insieme di vettori è linearmente dipendente se esiste una combinazione lineare di essi che dà come risultato il vettore nullo
Un insieme di vettori è linearmente indipendente se l'unica combinazione lineare che dà come risultato il vettore nullo è quella in cui tutti i coefficienti sono nulli
Una base di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio vettoriale. La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di vettori in una base
Un insieme che contiene un sottoinsieme linearmente dipendente è anch'esso linearmente dipendente, mentre ogni sottoinsieme di un insieme linearmente indipendente è anch'esso linearmente indipendente
Ogni insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale di dimensione finita può essere esteso a formare una base, mentre ogni insieme contenente più di n vettori in uno spazio vettoriale di dimensione finita è necessariamente linearmente dipendente
La base e la dimensione di un sottospazio vettoriale possono essere determinate utilizzando le proprietà che definiscono il sottospazio e trovando una base per il sottospazio tramite un sistema di equazioni lineari
00
Sottoinsiemi di insiemi linearmente indipendenti
Ogni sottoinsieme di un insieme linearmente indipendente conserva la proprietà di indipendenza lineare.
01
Condizione di dipendenza per singolo vettore
Un vettore è linearmente dipendente se e solo se è il vettore nullo.
02
Criterio di dipendenza in un insieme di vettori
Un insieme è linearmente dipendente se almeno un vettore è combinazione lineare degli altri.
