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Equazioni di Secondo Grado e loro Risoluzione

Le equazioni di secondo grado sono rappresentate da parabole nel piano cartesiano e hanno soluzioni, o radici, che corrispondono ai punti di intersezione con l'asse x. La formula risolutiva e il discriminante Δ sono essenziali per determinare la natura delle soluzioni, che possono essere reali e distinte, reali e coincidenti, o complesse coniugate. Le relazioni tra le soluzioni, come le identità di Viète, offrono metodi intuitivi per la risoluzione, specialmente quando il coefficiente a è 1.

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1

Un'equazione polinomiale espressa come ax^2 + bx + c = 0, con a, b, c coefficienti reali e a diverso da ______, è di secondo grado.

Clicca per vedere la risposta

0

2

Formula risolutiva equazione secondo grado

Clicca per vedere la risposta

x = (-b ± √(Δ)) / (2a), dove Δ = b^2 - 4ac

3

Condizione Δ > 0

Clicca per vedere la risposta

Due soluzioni reali e distinte

4

Condizione Δ < 0

Clicca per vedere la risposta

Soluzioni complesse coniugate, nessun punto di intersezione reale con asse x

5

Le equazioni di ______ grado possono essere ______ o ______.

Clicca per vedere la risposta

secondo complete incomplete

6

Un'equazione completa ha i coefficienti ______, ______ e ______ tutti diversi da zero.

Clicca per vedere la risposta

a b c

7

Se in un'equazione ______ = 0 e ______ ≠ 0, allora è un'equazione incompleta ______.

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b c pura

8

Un'equazione incompleta ______ si verifica quando ______ = 0 e ______ ≠ 0.

Clicca per vedere la risposta

spuria c b

9

Per risolvere le equazioni incomplete non è sempre necessario usare la ______ risolutiva.

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formula

10

Identità di Viète per equazioni di secondo grado

Clicca per vedere la risposta

Somma e prodotto delle soluzioni derivano dalle identità di Viète.

11

Somma e prodotto delle soluzioni quando a = 1

Clicca per vedere la risposta

Somma soluzioni = -coefficiente lineare, prodotto soluzioni = termine noto.

12

La dimostrazione inizia con la ______ canonica dell'equazione di ______ grado.

Clicca per vedere la risposta

forma secondo

13

Dopo aver diviso per ______ e spostato il termine noto, si completa il quadrato aggiungendo (/2)^2.

Clicca per vedere la risposta

a b a

14

Il procedimento conferma che le soluzioni possono essere espresse tramite questa formula, a prescindere dai valori dei ______.

Clicca per vedere la risposta

coefficienti

15

Discriminante Δ > 0

Clicca per vedere la risposta

Due soluzioni reali e distinte.

16

Equazione incompleta pura

Clicca per vedere la risposta

Isolare x^2, applicare radice quadrata, due soluzioni reali e distinte.

17

Soluzioni equazione secondo grado

Clicca per vedere la risposta

Sempre due soluzioni, reali o complesse.

Q&A

Ecco un elenco delle domande più frequenti su questo argomento

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Definizione e Forma Canonica delle Equazioni di Secondo Grado

Un'equazione di secondo grado in una variabile x è un'equazione polinomiale che può essere espressa nella forma canonica ax^2 + bx + c = 0, dove a, b e c sono coefficienti reali e a ≠ 0. La condizione a ≠ 0 è essenziale per garantire che l'equazione sia effettivamente di secondo grado. La rappresentazione grafica di questa equazione corrisponde a una parabola nel piano cartesiano, e le soluzioni dell'equazione, dette anche radici o zeri, corrispondono ai punti in cui la parabola interseca l'asse x, ovvero i valori di x per cui y = ax^2 + bx + c è uguale a zero.
Lavagna verde scuro con bilancia da laboratorio argento, compasso aperto e mela rossa riflettente, senza simboli, in aula scolastica.

La Formula Risolutiva e il Discriminante

Le soluzioni di un'equazione di secondo grado si determinano attraverso la formula risolutiva: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a). Il discriminante, indicato con Δ (delta), è definito come b^2 - 4ac e gioca un ruolo fondamentale nell'identificare la natura delle soluzioni: se Δ > 0, ci sono due soluzioni reali e distinte; se Δ = 0, le soluzioni sono reali e coincidenti (la parabola tocca l'asse x in un solo punto); se Δ < 0, le soluzioni sono complesse coniugate e non esistono punti di intersezione reali con l'asse x.

Classificazione e Risoluzione delle Equazioni Incomplete

Le equazioni di secondo grado si distinguono in complete e incomplete. Un'equazione è definita completa quando i coefficienti a, b e c sono tutti non nulli. Un'equazione è incompleta pura se b = 0 e c ≠ 0, e incompleta spuria se c = 0 e b ≠ 0. Le equazioni incomplete possono essere risolte con metodi più diretti, come la scomposizione di polinomi o l'applicazione di proprietà algebriche, senza necessariamente utilizzare la formula risolutiva.

Relazioni tra le Soluzioni di un'Equazione di Secondo Grado

Esistono relazioni ben definite tra le soluzioni di un'equazione di secondo grado. Se x1 e x2 sono le soluzioni, allora la loro somma è -b/a e il loro prodotto è c/a. Queste relazioni derivano dalle identità di Viète e sono particolarmente utili per risolvere equazioni di secondo grado in maniera più intuitiva, specialmente quando il coefficiente a è uguale a 1, poiché in tal caso la somma delle soluzioni è l'opposto del coefficiente lineare e il loro prodotto è il termine noto.

Dimostrazione della Formula Risolutiva

La dimostrazione della formula risolutiva inizia con la forma canonica dell'equazione di secondo grado. Dopo aver diviso entrambi i membri per a e trasferito il termine noto al secondo membro, si completa il quadrato aggiungendo (b/2a)^2 ad entrambi i membri. Applicando poi la radice quadrata e isolando x, si ottiene la formula risolutiva. Questo procedimento dimostra che le soluzioni di un'equazione di secondo grado possono essere sempre espresse attraverso questa formula, indipendentemente dai valori specifici dei coefficienti.

Esempi Pratici di Risoluzione

Per applicare la teoria, consideriamo alcuni esempi pratici. Per un'equazione con Δ > 0, come 4x^2 + 27x - 7 = 0, si utilizza la formula risolutiva per trovare due soluzioni reali e distinte. Invece, per un'equazione incompleta pura, come x^2 - 9 = 0, si isola x^2 e si applica la radice quadrata, ottenendo due soluzioni reali e distinte senza calcolare il discriminante. Questi esempi dimostrano come le diverse tecniche di risoluzione possano essere applicate a seconda della forma dell'equazione, confermando che ogni equazione di secondo grado ha sempre due soluzioni, che possono essere reali o complesse.