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Gli intervalli sui numeri reali e i concetti di intorno di un punto, punto isolato e punto di accumulazione sono essenziali in matematica. Un intervallo può essere chiuso, aperto o semiaperto e può estendersi all'infinito. L'intorno di un punto è un intervallo che lo contiene e può essere sferico. Un punto isolato è tale se esiste un intorno che non include altri punti dell'insieme, mentre un punto di accumulazione è circondato da infiniti punti dell'insieme.
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La retta reale è la rappresentazione grafica degli intervalli sui numeri reali
Intervalli chiusi
Gli intervalli chiusi includono gli estremi a e b
Intervalli aperti
Gli intervalli aperti escludono gli estremi a e b
Intervalli semiaperti o misti
Gli intervalli semiaperti o misti includono o escludono un estremo
Intervalli che si estendono verso l'infinito
Gli intervalli che si estendono verso l'infinito non includono i simboli +∞ o -∞
Insieme di tutti i numeri reali
L'insieme di tutti i numeri reali è rappresentato dall'intervallo aperto (-∞, +∞)
L'intorno di un punto è un intervallo che lo contiene e si estende per una certa distanza da entrambi i lati del punto
Un intorno completo è un intervallo aperto che contiene il punto e si estende per una certa distanza da entrambi i lati
Un punto è isolato in un insieme se esiste un intorno che non contiene altri punti dell'insieme
Gli intorni infiniti sono intervalli che si estendono verso l'infinito e sono utili per analizzare il comportamento asintotico delle funzioni
Un punto di accumulazione di un insieme è un punto che contiene infiniti punti dell'insieme in ogni suo intorno
I punti di accumulazione sono fondamentali per definire i limiti e la continuità delle funzioni
00
Intervalli chiusi [a, b]
Includono gli estremi a e b.
01
Intervalli aperti (a, b)
Escludono gli estremi a e b.
02
Intervalli semiaperti [a, b) o (a, b]
Includono un estremo e ne escludono l'altro.
