Le funzioni reali di due variabili reali sono fondamentali per l'analisi matematica e applicazioni economiche. Queste funzioni associano coppie di numeri reali a un valore unico, con il loro studio che include la classificazione, l'identificazione di massimi e minimi relativi, e l'ottimizzazione vincolata tramite metodi come i moltiplicatori di Lagrange.
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Una funzione reale di due variabili associa ad ogni coppia ordinata di numeri reali un unico valore reale
Le variabili indipendenti sono rappresentate da x e y, mentre la variabile dipendente è rappresentata da z
Il dominio di una funzione è l'insieme di tutte le coppie (x, y) per cui la funzione è ben definita, mentre il codominio è l'insieme dei valori che z può assumere
Le funzioni polinomiali sono definite per ogni coppia (x, y)
Le funzioni razionali frazionarie richiedono che il denominatore non sia zero
Le funzioni irrazionali con indice di radice pari necessitano che il radicando sia non negativo, mentre quelle con indice dispari non hanno restrizioni sul radicando
Le funzioni logaritmiche sono definite per argomenti strettamente positivi, mentre le funzioni esponenziali sono definite per ogni coppia (x, y)
Le funzioni marginali sono fondamentali in economia per misurare l'effetto di piccole variazioni in una variabile sull'altra
La risoluzione di disequazioni e sistemi di disequazioni in due variabili è cruciale per modellare e risolvere problemi economici
Le disequazioni lineari si risolvono graficamente, identificando i semi-piani delimitati dalle rette nel piano cartesiano
I sistemi di disequazioni lineari si risolvono trovando l'intersezione dei semi-piani soluzioni
Per le disequazioni non lineari, l'insieme soluzione è determinato dalla regione del piano divisa dalla curva associata alla disequazione
Un punto di massimo relativo è un punto in cui la funzione assume valori non superiori rispetto a quelli nell'intorno del punto stesso, e analogamente per i minimi relativi
Il Teorema di Weierstrass garantisce che una funzione continua su un insieme chiuso e limitato raggiunge un valore massimo e un valore minimo assoluto
Per identificare i punti di massimo e minimo si possono utilizzare le derivate parziali e la matrice hessiana
Le derivate parziali e la matrice hessiana, attraverso il suo determinante (l'hessiano), aiutano a classificare i punti critici come massimi, minimi o punti di sella
I punti di massimo e minimo assoluti sono determinati dai punti critici che soddisfano determinate condizioni
I massimi e minimi vincolati si verificano quando le variabili sono soggette a vincoli e devono soddisfare determinate condizioni
Per trovarli, si possono utilizzare metodi come la sostituzione del vincolo nell'equazione della funzione o l'impiego dei moltiplicatori di Lagrange
Questi metodi sono essenziali per l'ottimizzazione di funzioni soggette a vincoli, una situazione frequente in economia e in altre discipline applicate
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Dominio di una funzione reale di due variabili
Insieme di tutte le coppie (x, y) per cui la funzione è definita.
01
Variabile dipendente in funzioni di due variabili
Valore reale z associato ad ogni coppia (x, y).
02
Condizioni funzioni razionali frazionarie
Denominatore diverso da zero.
