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La derivata quantifica la rapidità di cambiamento di una funzione matematica. Essenziale in fisica per velocità e accelerazione, in economia per costi e ricavi, la derivata e la sua seconda forniscono insight sulla crescita delle funzioni, concavità e punti di flesso. Le regole di derivazione facilitano l'analisi di funzioni complesse.
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La derivata è una misura della velocità di cambiamento di una funzione matematica rispetto a una variazione dell'input
La derivata è definita come il limite del rapporto incrementale Δy/Δx quando Δx tende a zero
La derivata in un punto corrisponde alla pendenza della retta tangente alla curva della funzione in quel punto
La derivata di una funzione y = f(x) è comunemente denotata come f′(x) o dy/dx
Le regole di derivazione, come la regola del prodotto, del quoziente e della catena, consentono di calcolare le derivate di funzioni composte, prodotti e quozienti di funzioni
La regola della potenza semplifica il calcolo delle derivate di termini elevati a una potenza
La derivata di una funzione è rappresentabile graficamente come la pendenza della retta tangente al grafico della funzione in un punto
La pendenza della retta tangente è massima nei punti di crescita più rapida della funzione e minima nei punti di decrescita più rapida
Nei punti di massimo e minimo locale, la pendenza è zero, indicando una tangente orizzontale
Le derivate sono impiegate in numerosi campi, dalla fisica all'economia, per analizzare velocità, accelerazione, costi e ricavi
La derivata seconda è utilizzata per studiare la concavità di una funzione e identificare i punti di flesso
La comprensione del calcolo delle derivate può essere valutata attraverso esercizi, problemi applicativi, analisi grafica e valutazioni scritte e orali
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Definizione formale di derivata
Limite del rapporto incrementale Δy/Δx per Δx che tende a zero.
01
Segno della derivata e comportamento della funzione
Derivata positiva indica funzione crescente, zero in punti stazionari, negativa se decrescente.
02
Punti stazionari di una funzione
Punti dove la derivata è zero, corrispondono a massimi o minimi locali.
