I sistemi lineari e le matrici sono pilastri dell'algebra lineare. Questo testo esplora le definizioni, le proprietà e i metodi di risoluzione dei sistemi lineari, oltre alle operazioni fondamentali e avanzate con le matrici, come la trasposizione, il prodotto e l'inversione. Si discute anche la dipendenza e l'indipendenza lineare, e le caratteristiche del gruppo lineare GL(n, R) delle matrici invertibili.
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Un sistema lineare è una collezione di equazioni lineari che coinvolgono le stesse variabili
Equivalenza tra sistemi lineari
Due sistemi lineari sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni
Operazioni elementari per risolvere un sistema lineare
Le operazioni elementari sulle equazioni di un sistema lineare preservano l'insieme delle sue soluzioni
Riduzione a forma triangolare superiore
Utilizzando le operazioni elementari, un sistema lineare può essere ridotto a una forma triangolare superiore per facilitarne la risoluzione
Metodo del back-substitution
Il metodo del back-substitution consiste nel risolvere un sistema lineare partendo dall'ultima equazione e procedendo a ritroso
Una matrice è un array rettangolare di numeri reali con n righe e m colonne
Somma di matrici
La somma di due matrici segue le stesse regole della somma tra numeri reali
Moltiplicazione di una matrice per uno scalare
La moltiplicazione di una matrice per uno scalare segue le stesse regole della moltiplicazione tra numeri reali
Matrici triangolari, diagonali, simmetriche e antisimmetriche
Le matrici possono essere classificate in base alla loro forma, ognuna con proprietà uniche utili in diversi ambiti matematici
Un insieme di matrici è linearmente dipendente se esiste una combinazione lineare non banale che risulta nella matrice nulla, altrimenti sono considerate linearmente indipendenti
Le matrici indipendenti formano una base per lo spazio vettoriale che rappresentano, mentre le matrici dipendenti non aggiungono dimensioni allo spazio
Trasposizione di una matrice
La trasposizione di una matrice consiste nello scambiare le sue righe con le colonne
Prodotto di matrici
Il prodotto di matrici è un'operazione che produce una nuova matrice attraverso il prodotto righe per colonne, ed è associativo e distributivo rispetto ad altre operazioni sulle matrici
Inversione di una matrice
L'inversione di una matrice quadrata, se possibile, comporta la ricerca di una matrice che moltiplicata per l'originale dia la matrice identità
00
Un insieme di valori per le ______ che rendono vere tutte le equazioni è chiamato soluzione di un ______ lineare.
incognite
sistema
01
Per trovare la soluzione, si possono eseguire operazioni come lo scambio di equazioni, la moltiplicazione per un numero non ______ e la sostituzione di un'equazione con la somma di essa e un'altra equazione moltiplicata per un ______.
nullo
coefficiente
02
Operazioni elementari sui sistemi lineari
Metodi per semplificare sistemi: scambio di equazioni, moltiplicazione per non zero, somma di multipli.
