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Sistemi lineari e matrici

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I sistemi lineari e le matrici sono pilastri dell'algebra lineare. Questo testo esplora le definizioni, le proprietà e i metodi di risoluzione dei sistemi lineari, oltre alle operazioni fondamentali e avanzate con le matrici, come la trasposizione, il prodotto e l'inversione. Si discute anche la dipendenza e l'indipendenza lineare, e le caratteristiche del gruppo lineare GL(n, R) delle matrici invertibili.

Definizione e Proprietà dei Sistemi Lineari

Un sistema lineare è una collezione di una o più equazioni lineari che coinvolgono le stesse variabili. In termini matematici, un sistema lineare di n equazioni a m incognite x1, x2, ..., xm può essere espresso come a11x1 + a12x2 + ... + a1mxm = b1, a21x1 + a22x2 + ... + a2mxm = b2, ..., an1x1 + an2x2 + ... + anmxm = bn, dove i coefficienti aij e i termini noti bi sono numeri reali. La soluzione di un sistema lineare è un insieme di valori per le incognite che soddisfa tutte le equazioni simultaneamente. Due sistemi lineari sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Per risolvere un sistema lineare, si possono utilizzare operazioni elementari sulle equazioni, come lo scambio di due equazioni, la moltiplicazione di un'equazione per un numero non nullo e la sostituzione di un'equazione con la somma di essa e un'altra equazione moltiplicata per un coefficiente. Queste operazioni preservano l'insieme delle soluzioni del sistema.
Sfere colorate rosse, blu e verdi disposte in griglia tridimensionale con riflessi su fili trasparenti su sfondo sfumato bianco-grigio.

Trasformazione di Sistemi Lineari e Metodo di Risoluzione

La semplificazione dei sistemi lineari è fondamentale per facilitarne la risoluzione. Utilizzando le operazioni elementari, è possibile ridurre un sistema lineare a una forma equivalente più gestibile, come quella triangolare superiore. In questa forma, le equazioni possono essere risolte partendo dall'ultima e procedendo a ritroso (metodo del back-substitution). Ad esempio, un sistema di tre equazioni con tre incognite può essere trasformato in modo che l'ultima equazione abbia una sola incognita, la penultima ne abbia due, e così via, fino a isolare e determinare i valori di tutte le incognite.

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00

Un insieme di valori per le ______ che rendono vere tutte le equazioni è chiamato soluzione di un ______ lineare.

incognite

sistema

01

Per trovare la soluzione, si possono eseguire operazioni come lo scambio di equazioni, la moltiplicazione per un numero non ______ e la sostituzione di un'equazione con la somma di essa e un'altra equazione moltiplicata per un ______.

nullo

coefficiente

02

Operazioni elementari sui sistemi lineari

Metodi per semplificare sistemi: scambio di equazioni, moltiplicazione per non zero, somma di multipli.

Q&A

Ecco un elenco delle domande più frequenti su questo argomento

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