La comprensione del concetto di infinito

Il Paradosso dell'Infinito di Galileo

Galileo Galilei contribuì significativamente alla comprensione del concetto di infinito attraverso un paradosso che evidenzia la sua natura controintuitiva. Egli notò che, per ogni numero naturale, esiste un quadrato corrispondente, ma non tutti i numeri naturali sono quadrati. Questo potrebbe suggerire che ci siano più numeri naturali che quadrati perfetti. Tuttavia, Galileo mostrò che per ogni numero naturale n esiste un quadrato perfetto n^2, e viceversa, per ogni quadrato perfetto esiste una radice quadrata che è un numero naturale. Questa corrispondenza uno-a-uno, o biunivoca, tra i due insiemi implica che hanno la stessa cardinalità infinita. Galileo concluse che il concetto di "più numeroso" perde il suo significato usuale quando si parla di insiemi infiniti, poiché non possiamo applicare le nozioni finite di conteggio agli infiniti.

La Definizione di Infinito di Dedekind

Richard Dedekind, matematico tedesco del XIX secolo, propose una definizione formale dell'infinito che supera l'intuizione e il paradosso. Secondo Dedekind, un insieme è definito infinito se esiste una corrispondenza biunivoca tra l'insieme stesso e una sua parte propria, cioè un sottoinsieme che non include tutti gli elementi dell'insieme originale. Questo criterio, noto come "taglio di Dedekind", permette di confrontare la grandezza di insiemi infiniti. Applicando la definizione di Dedekind, si conferma che l'insieme dei numeri naturali e l'insieme dei loro quadrati hanno la stessa cardinalità infinita, così come gli insiemi dei numeri pari, dispari e interi, che sono tutti esempi di insiemi numerabili.

La Cardinalità dei Numeri Razionali e Reali

Georg Cantor, matematico tedesco del tardo XIX secolo, estese la teoria degli insiemi infiniti dimostrando che l'insieme dei numeri razionali (Q) è numerabile. Cantor creò una tabella che elenca tutte le frazioni in modo sistematico, mostrando che è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Tuttavia, Cantor scoprì anche che l'insieme dei numeri reali (R) non è numerabile. Con il suo famoso argomento della diagonale, Cantor dimostrò che per ogni elenco numerabile di numeri reali, è possibile costruire un nuovo numero reale che non è presente nell'elenco, indicando che i numeri reali hanno una cardinalità maggiore, nota come cardinalità del continuo.

Gerarchie di Infinito e il Paradiso di Cantor

Cantor introdusse il concetto di una gerarchia di infiniti di diverse grandezze, o cardinalità. Dimostrò che l'insieme delle parti (l'insieme di tutti i sottoinsiemi) di un insieme A ha sempre una cardinalità maggiore dell'insieme A stesso. Ad esempio, l'insieme delle parti dei numeri reali, che include tutte le possibili funzioni da R a R, ha una cardinalità maggiore di quella dei numeri reali. Queste scoperte hanno rivoluzionato la matematica, fornendo un linguaggio formale per trattare gli insiemi infiniti e ispirando il matematico David Hilbert a lodare il "Paradiso" creato da Cantor per i matematici, un luogo dove si possono esplorare senza limiti le astrazioni matematiche.