Proprietà delle potenze

Le proprietà fondamentali delle potenze

L'operazione di elevamento a potenza in matematica è caratterizzata da cinque proprietà principali che facilitano la manipolazione delle espressioni numeriche e algebriche. Queste proprietà sono valide in contesti specifici, come il prodotto e il quoziente tra potenze che condividono la stessa base o lo stesso esponente, nonché nelle potenze di potenze. La prima proprietà si applica al prodotto di potenze con la stessa base: moltiplicando due o più potenze che hanno la stessa base, si ottiene una nuova potenza con la stessa base e con esponente pari alla somma degli esponenti delle potenze originali. Ad esempio, \(10^3 \cdot 10^2 = 10^{3+2} = 10^5\). Questa regola si basa sul concetto che moltiplicare una base per se stessa un certo numero di volte equivale ad addizionare gli esponenti.

Divisione e moltiplicazione di potenze con esponenti uguali

La seconda e la terza proprietà delle potenze trattano rispettivamente il quoziente e il prodotto di potenze che hanno esponenti uguali. Per la divisione, se si dividono due potenze con la stessa base, si ottiene una potenza che conserva la base e ha per esponente la differenza tra gli esponenti delle potenze originali. Ad esempio, \(10^5 : 10^3 = 10^{5-3} = 10^2\), a patto che l'esponente del dividendo sia maggiore o uguale a quello del divisore. Per il prodotto di potenze con lo stesso esponente, si moltiplicano le basi mantenendo invariato l'esponente comune, come mostrato in \(3^2 \cdot 4^2 = (3 \cdot 4)^2 = 12^2\). Queste proprietà derivano dalla regola che l'esponente comune si distribuisce su ciascun fattore della base.