La parabola e le sue proprietà
Mappa concettuale
La parabola, curva equidistante da un punto fisso e una retta fissa, è descritta da equazioni standard con asse parallelo agli assi. L'asse di simmetria può essere parallelo all'asse y o x, influenzando la forma dell'equazione. Il vertice, l'asse, il fuoco e la direttrice sono elementi chiave per la rappresentazione grafica e l'analisi delle relazioni con le rette nel piano cartesiano.
Riassunto
Schema
Equazione Standard della Parabola con Asse Parallelo agli Assi Coordinati
In geometria analitica, la parabola è una curva definita come l'insieme dei punti equidistanti da un punto fisso, chiamato fuoco, e da una retta fissa, nota come direttrice. L'equazione canonica di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate (asse y) è y = ax^2 + bx + c, dove a, b e c sono coefficienti reali con a diverso da zero. Se l'asse di simmetria è parallelo all'asse delle ascisse (asse x), l'equazione diventa x = ay^2 + by + c. Questa forma si ottiene scambiando le variabili x e y nell'equazione canonica. Le formule per calcolare vertice, asse, fuoco e direttrice di una parabola con asse parallelo all'asse x si deducono facilmente dalle corrispondenti formule per la parabola con asse parallelo all'asse y, semplicemente invertendo le variabili x e y.Rappresentazione Grafica e Caratteristiche delle Parabole con Asse Parallelo all'Asse X
Per disegnare il grafico di una parabola il cui asse è parallelo all'asse x, si inizia identificando il vertice della parabola. Successivamente, si calcolano le coordinate di altri punti assegnando valori specifici alla variabile y e risolvendo l'equazione per x. Ad esempio, considerando la parabola x = y^2 - 2y - 3, si determina che il vertice è nel punto V(-4, 1) e che l'asse di simmetria è la retta y = 1. Calcolando altri punti e i loro simmetrici rispetto all'asse, si può tracciare il grafico della parabola. Questo metodo consente di visualizzare la forma e la posizione della parabola nel piano cartesiano.Relazioni tra Parabola e Retta nel Piano Cartesiano
L'analisi delle relazioni tra una parabola con asse parallelo all'asse y e una retta nel piano cartesiano può rivelare diverse configurazioni. Una retta non parallela all'asse y può essere esterna, tangente o secante la parabola, a seconda del valore del discriminante dell'equazione ottenuta risolvendo il sistema composto dall'equazione della parabola e quella della retta. Se la retta è parallela all'asse y, essa intersecherà la parabola in un solo punto. Nel caso di rette tangenti, se un punto P è esterno alla parabola, esistono due rette tangenti che passano per P; se P giace sulla parabola, esiste una sola tangente in quel punto; se P è interno alla parabola, non esistono tangenti che passano per P.Calcolo dell'Equazione della Tangente a una Parabola
Per determinare l'equazione della retta tangente a una parabola in un punto P(x₀, y₀), si utilizza il coefficiente angolare m della tangente, che si calcola con la derivata della funzione parabolica nel punto di tangenza. Per una parabola descritta dall'equazione y = ax^2 + bx + c, il coefficiente angolare m è dato da m = 2ax₀ + b. Ad esempio, data la parabola y = x^2 - 3x - 2 e il punto P(0, -2), il coefficiente angolare m è -3, e quindi l'equazione della tangente in P sarà y = -3x - 2.Metodo per Derivare l'Equazione di una Parabola
Per formulare l'equazione di una parabola conoscendo determinate condizioni, si parte dall'equazione generale y = ax^2 + bx + c (o x = ay^2 + by + c se l'asse è parallelo all'asse x) e si traducono le condizioni in un sistema di equazioni in a, b e c. Risolvendo il sistema, si ottengono i valori dei coefficienti che definiscono univocamente la parabola. Se sono noti tre punti sui quali la parabola passa, le loro coordinate possono essere utilizzate per determinare i coefficienti a, b e c. Se il vertice è noto, si può impiegare la forma verticale dell'equazione della parabola, y = a(x - h)^2 + k, dove (h, k) sono le coordinate del vertice, per trovare il valore di a e quindi l'equazione completa della parabola.
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Definizione di parabola
Punti equidistanti
Una parabola è una curva definita come l'insieme dei punti equidistanti da un punto fisso e da una retta fissa
Fuoco e direttrice
Il fuoco e la direttrice sono rispettivamente il punto fisso e la retta fissa che definiscono una parabola
Equazione canonica
L'equazione canonica di una parabola è y = ax^2 + bx + c, dove a, b e c sono coefficienti reali con a diverso da zero
Grafico di una parabola
Identificazione del vertice
Per disegnare il grafico di una parabola, si inizia identificando il vertice
Calcolo delle coordinate dei punti
Per tracciare il grafico di una parabola, si calcolano le coordinate di altri punti assegnando valori specifici alla variabile y e risolvendo l'equazione per x
Metodo di disegno
Il metodo di disegno di una parabola consiste nel calcolare i punti e i loro simmetrici rispetto all'asse di simmetria per visualizzarne la forma e la posizione nel piano cartesiano
Relazioni tra parabola e retta
Configurazioni possibili
Le relazioni tra una parabola e una retta possono essere esterna, tangente o secante, a seconda del valore del discriminante dell'equazione ottenuta risolvendo il sistema composto dalle due equazioni
Retta parallela all'asse y
Se la retta è parallela all'asse y, essa intersecherà la parabola in un solo punto
Retta tangente
Per determinare l'equazione della retta tangente a una parabola in un punto, si utilizza il coefficiente angolare m, che si calcola con la derivata della funzione parabolica nel punto di tangenza
Formulazione dell'equazione di una parabola
Utilizzo di condizioni
Per formulare l'equazione di una parabola, si possono utilizzare condizioni specifiche e risolvere un sistema di equazioni per ottenere i coefficienti a, b e c
Conoscenza di tre punti
Se sono noti tre punti sui quali la parabola passa, le loro coordinate possono essere utilizzate per determinare i coefficienti a, b e c
Conoscenza del vertice
Se il vertice è noto, si può utilizzare la forma verticale dell'equazione della parabola per trovare il valore di a e quindi l'equazione completa
La parabola e le sue proprietà
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00
In ______ analitica, la ______ è definita come l'insieme dei punti equidistanti da un punto fisso, detto ______, e da una linea fissa, conosciuta come ______.
geometria
parabola
fuoco
direttrice
01
Se l'asse di simmetria è parallelo all'asse delle ______, l'equazione cambia in x = ay^2 + by + c, ottenuta scambiando le variabili x e y.
ascisse
02
Le formule per determinare vertice, asse, fuoco e direttrice di una parabola con asse parallelo all'asse x si ricavano dalle formule per l'asse y, semplicemente ______ le variabili x e y.
invertendo
