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Funzioni Matematiche

Le funzioni matematiche sono relazioni tra insiemi che associano elementi di un dominio a un codominio. Si distinguono in suriettive, iniettive e biunivoche, con rappresentazioni grafiche come rette e parabole per le funzioni lineari e quadratiche. L'analisi grafica aiuta a comprendere le loro proprietà e a determinare se sono invertibili.

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1

Se A e B sono insiemi, una funzione f da A a B stabilisce che ad ogni elemento x in A corrisponde un unico elemento y in B, indicato con y = f(x) o f: A → B. L'insieme ______ di una funzione è A, il ______ è B e l'insieme ______ comprende tutti gli elementi di B che sono immagini di A.

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dominio codominio immagine

2

Funzione Suriettiva

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Ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.

3

Funzione Iniettiva

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Elementi distinti del dominio hanno immagini distinte nel codominio.

4

Funzione Biunivoca

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Sia iniettiva che suriettiva, esiste una corrispondenza uno-a-uno tra gli elementi di A e B e una funzione inversa.

5

Le funzioni che derivano da dati sperimentali o osservazioni in settori come ______, ______, ______ e ______ sono dette empiriche.

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fisica chimica economia statistica

6

Le funzioni ______ sono definite tra insiemi di numeri e comprendono le funzioni reali di variabile reale con dominio e codominio nei ______ reali.

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numeriche numeri

7

In matematica, le funzioni numeriche sono spesso espresse tramite formule dove x rappresenta l'input ______ e y l'output ______.

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indipendente dipendente

8

Funzione costante

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Assegna lo stesso valore a tutti gli elementi del dominio.

9

Funzione identità

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Associa ad ogni elemento il valore di se stesso, grafico è la bisettrice del I e III quadrante.

10

Grafico funzione quadratica

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Rappresentazione di y = f(x) come parabola nel piano cartesiano.

11

Le funzioni ______ hanno un grafico che è una retta nel piano cartesiano.

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lineari

12

Nelle funzioni lineari, la lettera 'm' indica la ______ della retta.

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pendenza

13

La formula y = mx + q descrive le funzioni ______ e include l'intercetta 'q'.

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lineari

14

Nell'equazione y = ax^2 + bx + c, le lettere 'a', 'b' e 'c' sono ______.

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costanti

15

La funzione ______ è espressa dall'equazione y = (ax + b) / (cx + d).

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omografica

16

Nella funzione omografica, 'c' deve essere ______ da zero.

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diverso

17

La funzione ______ produce un grafico che è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

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valore assoluto

18

Test della retta verticale

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Determina se una relazione è funzione: non è funzione se una retta verticale interseca il grafico più volte.

19

Funzione suriettiva

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Ogni retta orizzontale interseca il grafico almeno una volta; il codominio è uguale all'immagine.

20

Funzione biunivoca

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Ogni retta orizzontale interseca il grafico esattamente una volta; è sia iniettiva che suriettiva.

Q&A

Ecco un elenco delle domande più frequenti su questo argomento

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Definizione e Proprietà delle Funzioni Matematiche

In matematica, una funzione è una relazione ben definita tra due insiemi che associa ad ogni elemento di un insieme, detto dominio, esattamente un elemento di un altro insieme, detto codominio. Formalmente, se A e B sono due insiemi non vuoti, una funzione f da A a B è una regola che ad ogni elemento x in A assegna un unico elemento y in B, e si scrive y = f(x) o f: A → B. Il dominio di una funzione è l'insieme A, mentre il codominio è l'insieme B. L'insieme immagine, o range, è il sottoinsieme di B che contiene tutti gli elementi che sono immagini degli elementi di A tramite la funzione f.
Lavagna verde scura con curve colorate in gesso, pezzi di gesso rotti e cancellino, in aula con luce soffusa.

Tipologie di Funzioni in Base alla Corrispondenza

Le funzioni si distinguono in suriettive, iniettive e biunivoche a seconda della loro corrispondenza tra gli elementi del dominio e del codominio. Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. È iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte nel codominio, ovvero se non esistono due elementi diversi in A che hanno la stessa immagine in B. Una funzione è biunivoca, o biettiva, se è sia iniettiva che suriettiva, stabilendo una corrispondenza uno-a-uno tra gli elementi di A e B. In questo caso, esiste anche una funzione inversa f^(-1) che associa ad ogni elemento del codominio un unico elemento del dominio.

Funzioni Empiriche e Funzioni Numeriche

Le funzioni empiriche sono quelle che si basano su dati sperimentali o osservazioni in campi come la fisica, la chimica, l'economia e la statistica. Ad esempio, la relazione tra la temperatura e l'ora del giorno in una stazione meteorologica è una funzione empirica. Le funzioni numeriche, d'altra parte, sono definite tra insiemi di numeri e includono le funzioni reali di variabile reale, che hanno dominio e codominio nei numeri reali. Queste funzioni sono spesso rappresentate da formule matematiche, dove la variabile x è l'input indipendente e y è l'output dipendente.

Funzioni Particolari e Rappresentazione Grafica

Tra le funzioni particolari, la funzione costante assegna lo stesso valore di B a tutti gli elementi di A, mentre la funzione identità associa ad ogni elemento di A se stesso. Il grafico di una funzione reale di variabile reale è un modo efficace per visualizzare la relazione tra x e y, dove ogni punto (x, y) nel piano cartesiano soddisfa l'equazione y = f(x). Funzioni notevoli includono la funzione lineare, con una relazione diretta tra x e y, la funzione inversa, con una relazione inversamente proporzionale, e la funzione quadratica, il cui grafico è una parabola.

Funzioni Lineari, Quadratiche e Altre Funzioni Significative

Le funzioni lineari sono espresse dalla formula y = mx + q, dove m rappresenta la pendenza della retta e q l'intercetta y. Il loro grafico è una retta nel piano cartesiano. Le funzioni quadratiche sono descritte dall'equazione y = ax^2 + bx + c, dove a, b e c sono costanti e il grafico è una parabola. La funzione omografica, data da y = (ax + b) / (cx + d) con a, b, c e d costanti e c diverso da zero, ha asintoti verticali e orizzontali. La funzione valore assoluto, y = |x|, produce un grafico simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

Analisi delle Funzioni attraverso il Grafico

Il grafico di una funzione è uno strumento fondamentale per analizzare le sue caratteristiche. Il Test della retta verticale stabilisce se una relazione è una funzione: se una retta verticale interseca il grafico in più di un punto, la relazione non è una funzione. Per determinare se una funzione è suriettiva, iniettiva o biunivoca, si utilizzano le rette orizzontali: se ogni retta orizzontale interseca il grafico almeno una volta, la funzione è suriettiva; se interseca al massimo una volta, è iniettiva; se interseca esattamente una volta, è biunivoca. Queste proprietà sono illustrate da esempi come la funzione quadratica, che generalmente non è né iniettiva né suriettiva, e la funzione lineare, che può essere biunivoca e quindi invertibile.