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Il concetto di derivata è fondamentale in matematica per l'analisi delle funzioni reali. Esso rappresenta la pendenza della retta tangente al grafico di una funzione e permette di approssimare la funzione stessa vicino a un punto dato. Attraverso la derivata, è possibile calcolare rette tangenti, massimi e minimi, e analizzare il comportamento delle funzioni con regole di derivazione come la regola del prodotto e la regola della catena.
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La retta tangente al grafico di una funzione in un punto è la migliore approssimazione lineare del grafico stesso vicino a quel punto
Funzione lineare
L'approssimazione lineare si concretizza nella ricerca di una funzione lineare che si comporti in modo simile alla funzione originale vicino al punto di interesse
Limite del rapporto incrementale
La derivata di una funzione in un punto è definita come il limite del rapporto incrementale quando la variazione della variabile indipendente tende a zero
La derivata di una funzione in un punto indica la pendenza della retta tangente al grafico della funzione nel punto di tangenza e permette di determinare l'equazione della retta tangente
La derivata di una somma di funzioni si ottiene sommando le derivate delle singole funzioni
La derivata di un prodotto di funzioni si ottiene applicando la regola del prodotto
La derivata di una funzione composta si calcola utilizzando la regola della catena
Se una funzione è continua, iniettiva e derivabile con derivata non nulla, anche la sua funzione inversa è derivabile e la sua derivata è l'inverso della derivata della funzione originale
Il Teorema di Fermat stabilisce che se una funzione ha un estremo locale in un punto e se è derivabile in quel punto, allora la sua derivata in quel punto è zero
La continuità di una funzione non garantisce la sua derivabilità, come nel caso della funzione valore assoluto
La relazione tra continuità, derivabilità e l'identificazione degli estremi locali di una funzione è fondamentale per analizzare il suo comportamento e risolvere problemi di ottimizzazione
00
Calcolo differenziale
Strumento matematico per studiare funzioni reali e loro variazioni.
01
Retta tangente
Migliore approssimazione lineare del grafico di una funzione vicino a un punto.
02
Approssimazione lineare
Funzione lineare che simula il comportamento della funzione originale vicino a un punto.
